Уравнения, содержащие параметр (стр. 2 из 3)

Подставив в (2)

, получим:

.

Если подставим

, то получим так же .

Таким образом, при

уравнение (1) не имеет числового смысла, т.е. - это недопустимые значения параметра k для (1). При мы можем решать только уравнение (2).

1. Если

, то уравнение (2) и вместе с ним уравнение (1) имеют единственное решение , которое будет:

а) положительным, если

, при 4<k<9, с учётом : ;

б) нулевым, если

;

в) отрицательным, если

и k>9 с учётом

, получаем .

2. Если

, то уравнение (2) решений не имеет.

Ответ: а)

при и , причём х>0 для ; x=0 при k=4; x<0 при ;

б) при

уравнение не имеет решений.

1.2 Решение линейных уравнений с модулем

Для начала, стоит вспомнить, что такое модуль числа. Итак, абсолютной величиной или модулем числа называется само число х, если х положителен, число (-х), если х отрицателен, или нуль, если х=0. Значение модуля может быть только положительным.

Чтобы понять решение параметрических уравнений, содержащих знак модуля, лучше всего продемонстрировать решение наглядно, т.е. привести примеры:

Пример 1. Решить уравнение |x-2|=b.

Так как, по определению модуля, |x-2|

, то при b<0 данное уравнение решений не имеет. Если b=0, то уравнение имеет решение х=2.

Если b>0, то решениями уравнения являются числа x=2+b и x=2-b.

Ответ: при b<0 решений нет, при b=0 х=2, при b>0 х=2+b и x=2-b.

Пример 2. Решить уравнение |x-a|=|x-4|. Удобнее всего данное уравнение решить методом интервалов, для двух случаев:

1) a

;

2) 4

.

1. Первый интервал:

;

Второй интервал:

, т.е. если а<4, то .

Третий интервал:

а=4, т.е. если а=4, то .

2. Первый интервал:

а=4, .

Второй интервал:

a>4,т.е. если 4<а, то

Третий интервал:

Ответ: при а=4 х-любое;, при а<4

.

Пример 3. Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению |x+3|– a| x – 1| =4.

Рассмотрим 3 промежутка: 1)

, 2) , 3) и решим исходное уравнение на каждом промежутке.

1.

, .

При а=1 уравнение не имеет решений, но при а

1 уравнение имеет корень . Теперь надо выяснить, при каких а х попадает на промежуток x< – 3, т.е. , , , . Следовательно, исходное уравнение на x< – 3 имеет один корень при , а на остальных а корней не имеет.

2.

. .

При а= – 1 решением уравнения является любое х; но мы решаем на промежутке

. Если а 1, то уравнение имеет один корень х=1.

3.

. .

При а=1 решением является любое число, но мы решаем на

. Если а 1, то х=1.

Ответ: при

; при а= – 1 и при а 1 х=1; при а=1 и при а 1 х=1.

1.3 Решение квадратных уравнений с параметром

Для начала напомню, что квадратное уравнение – это уравнение вида

, где а, b и с – числа, причем, а 0.

Условия параметрических квадратных уравнений могут быть различны, но для решений всех их нужно применять свойства обыкновенного квадратного уравнения

: