Уравнения, содержащие параметр (стр. 3 из 3)
а) Если D>0, а>0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с>0 одинаковые и противоположны по знаку коэффициента b, а при с<0, причем по абсолютной величине больше тот, знак которого противоположен коэффициенту b.
б) Если D=0, а>0, то уравнение имеет два действительных и равных между собой корня, знак которых противоположен знаку коэффициента b.
в) Если D<0, а>0, то уравнение не имеет действительных корней.
Аналогично можно представить свойства корней при а<0. Кроме того, в квадратных уравнениях справедливы следующие утверждения:
1. Если поменять местами коэффициенты а и с, то корни полученного квадратного уравнения будут обратны корням данного.
2. Если поменять знак коэффициента b, корни полученного квадратного уравнения будут противоположны корням данного.
3. Если коэффициенты а и с разных знаков, то уравнение имеет действительные корни.
Пример1. Найти все значения параметра а, для которых квадратное уравнение
: а) имеет два различных корня; б) не имеет корней; в) имеет два равных корня.Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому а
-1. Рассмотрим дискриминант данного уравнения: 
При а>-1 уравнение имеет два различных корня, т.к. D>0, при a<-1 уравнение корней не имеет, т.к. D<0, а двух одинаковых корней это уравнение иметь не может, т.к. D=0 при а=-1, а это противоречит условию задачи.
Пример2. Решить уравнение
При а=0 уравнение является линейным 2х+1=0, которое имеет единственное решение х=-0.5. А при а
0, уравнение является квадратным и его дискриминант D=4-4a.При а>1 D<0 поэтому уравнение корней не имеет. При а=1 D=0, поэтому уравнение имеет два совпадающих корня
=-1.При a<1, но а
0, D>0 и данное уравнение имеет два различных корня 
; 
.Ответ:
и при a<1, но а 0; х=-0.5 при а=0; =-1 при а=1.Пример3. Корни уравнения
таковы, что 
. Найдите а.По теореме Виета
и 
. Возведём обе части первого равенства в квадрат: 
. Учитывая, что 
, а 
, получаем: 
или 
, 
. Проверка показывает, что все значения 
удовлетворяют условию.Ответ:
2. Примеры решений уравнений с параметром из ГИА и ЕГЭ части С
Узнав всю теоретическую основу и методы решений различных уравнений, содержащих параметр, я решила применить свои знания на практике. Мы выбрали несколько вариантов заданий ГИА и ЕГЭ из части С, представляющих собой именно те виды уравнений, которые были представлены в моей работе, а именно: уравнение первой степени с одним неизвестным, уравнение с модулем и квадратное уравнение. Ниже будут предложены решения этих уравнений.
1. Определить значения k, при которых корни уравнения
положительны.Сразу можно выделить, что
, 
, из этого следует, что при 
уравнение не имеет смысла. 
В уравнение х(3k-8)=6-k подставим недопустимые значения х, чтобы узнать, при каких k уравнение не имеет смысла:
Итак, мы выяснили, что
.Выразим х:
. Х будет больше нуля, если 
. 
Учитывая, что
, 
, 
. Ответ: , .2. При каких значениях а уравнение
имеет равные корни?Уравнение имеет равные корни в том случае, если дискриминант равен нулю. Найдем дискриминант данного уравнения и приравняем его к нулю:
Ответ: при а=2 и а=2/35.
3. Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению a|x+3|+2|x+4|=2.
1) х+3=0 2) х+4=0
х= – 3 х= – 4 .
х+3 – – +
х+4 – -4 + -3 +
Рассмотрим 3 промежутка.
1.
а(-(х+3)+2(-(х+4)=2
-ах – 3а –2х – 8=2
х(- а – 2)=10+3а (при а
- 2) 
.Теперь надо выяснить, при каких а х попадает на промежуток
. 
Следовательно, на промежутке
уравнение имеет единственный корень 
при 
.2.
. 
=> При а
2 х= -3При а=2
.3.
=> При а
-2 х= -3При а= -2
.Ответ: 1. при
2. при а
2 х= -3при а=2
.3. при а
-2 х= -3при а= -2
.Заключение
Итак, проделав эту работу, я действительно поняла, как решаются уравнения с параметрами, приобрела навык решения и, надеюсь, теперь не столкнусь с трудностями при решении подобных заданий на экзамене. Я надеюсь, что моя работа поможет ученикам успешнее и смелее решать различные задачи с параметрами.
Конечно, не все далось сразу и легко – чтобы научиться решать уравнения с параметрами, нужно выйти за рамки представлений об уравнении, при этом не забывая о свойствах того или иного типа уравнения. Удаётся это не сразу. К тому же, в школьной программе задачам с параметрами не уделяется должного внимания, поэтому, увидев такое на экзамене, конечно, можно растеряться. Но я надеюсь, что вызвала интерес учащихся к изучению таких интересных и нестандартных заданий, как уравнения, содержащие параметр.