Численные методы анализа (стр. 4 из 5)

2) Определим новое приближение корня к середине отрезка

Определим значение функции в точке с:

Выполним проверку |f(c)|

ε → |0,013| 0.001 – нет

Найдем интервал, в котором находится корень:

f(a)∙f(c) = f (0,5)∙ f (0,55) = (+)∙(+) = (+)

Смена знака не происходит, значит на этом интервале корня нет, следовательно корень находится на правой половине интервала изоляции корня.

Принимаем a= c = 0,55

В качестве нового приближения выбираем интервал [a; b] = [0,55; 0,6]

3) Определим новое приближение корня к середине отрезка

Определим значение функции в точке с:

Выполним проверку |f(c)|

ε → |-0,013| 0.001 – нет

Найдем интервал, в котором находится корень:

f(a)∙f(c) = f (0,55)∙ f (0,575) = (+)∙(–) = (–)

Смена знака произошла, следовательно, корень находится на левой половине интервала изоляции корня.

Принимаем b= c = 0,575

В ачестве нового приближения выбираем интервал [a; b] = [0,55; 0,575]

4) Определим новое приближение корня к середине отрезка

Определим значение функции в точке с:

Выполним проверку |f(c)|

ε → |0,000| 0,001 – да.

Необходимое условие достигается на четвёртом приближении, где х = 0,563

Ответ: х = 0,563

3.4 Уточнение корней методом Ньютона

За начальное приближение принимается тот из концов отрезка [0,4; 0,6], на котором выполняется условие сходимости (смотри пункт 3.2).

Проверим условие сходимости в точке а = 0,4:

Проверим условие сходимости в точке b = 0,6:

1) За начальное приближение к корню принимаем значение х₀, равное 0,6

Вычислим первое приближение:

Погрешность вычисления:

Приближенное значение корня х = 0,563

Ответ: х = 0,563

3.5 Уточнение корней методом простых итераций

Приведем уравнение к каноническому виду.

За начальное приближение принимается тот из концов отрезка [0,4; 0,6], на котором выполняется условие сходимости (смотри пункт 3.2).

Проверим условие сходимости в точке а = 0,4:

Примем за нулевое приближение неизвестных значение

Выполним первую итерацию

Найдем значение

Выполним проверку:

|x₁-x₀| = |0,5484 – 0,4| = 0,1484 < 0,001 – нет

Выполним вторую итерацию

Найдем значение

Выполним проверку:

|x₂-x₁| = |0,5612 -0,5484| = 0,0128

0,001 – нет

Выполним третью итерацию

Найдем значение

Выполним проверку:

|x₃-x₂| = |0,5627 – 0,5612 | = 0,0015

0,001 – нет

Выполним четвёртую итерацию

Найдем значение

Выполним проверку:

|x₁-x₀| = |0,5629 – 0,5627| = 0,0002

0,001 – да

Приближенное значение корня х = 0,5629

4. Численные методы вычисления определенных интегралов

4.1 Исходные данные

Интеграл	Шаг	Точность
		0,001

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

Вычислим значения подынтегральной функции в точках разбиения x_i, где i = 0,1,2..n.

0 0,4142

0,0985 0,5345

0,1989 0,6682

0,3033 0,8207

1

Результаты сведены в таблицу:

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8
x	0
f(x)	0	0,0985	0,1989	0,3033	0,4142	0,5345	0,6682	0,8207	1

4.2 Вычислим интеграл методом левых прямоугольников

I_лп = h·[f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + … + f(x_n-1)] =

·[0+0,0985+0,1989+0,3033+0,4142+0,5345+0,6682+0,8207] = 0,1491

Ошибка вычисления:

О = |0,173–0,1491| = 0,0239

= 0,001 – нет.

4.3 Вычислим интеграл методом правых прямоугольников

I_пп = h·[f(x₁) + f(x₂) + f(x₃) + … + f(x_n)] =

·[0,0985+0,1989+0,3033+0,4142+0,5345+0,6682+0,8207+1] = 0,1982

Ошибка вычисления:

О = |0,173–0,1982| = 0,0252

= 0,001 – нет.

4.4 Вычислим интеграл методом центральных прямоугольников

Вычислим значения подынтегральной функции в центре каждого выделенного интервала:

0,0491 0,4730

0,1483 0,5994

0,2505 0,7416