Решение задачи об оптимальной интерполяции с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ) (стр. 2 из 8)

5.Матрицы. Прямоугольная таблица чисел, записанная в виде

(8)

называется матрицей.

Коротко матрицу обозначают так:

, ;

где

- элемент данной матрицы, который находится в i-й строке и j-м столбце матрицы А.

5

Некоторые свойства матриц:

1. сумма С = А + В двух матриц А и В одного размера m

n – это матрица

С = (с

), где с = a + b для всех i, j;

сумма матриц разных размеров не определяется.

2.Произведение С = λА матрицы А и элемента λ

С – это матрица того же размера, что и А, причём при всех i, j.

3.Произведение С = АВ матрицы А размера m

n и матрицы В размера n p – это матрица С размера m p такая, что

Произведение матриц в общем случае некоммутативно, т.е АВ≠ВА.

Транспонированная матрица

(по отношению к матрице А) – такая матрица, что .

Совокупность элементов

квадратной матрицы называется главной диагональю матрицы.

Матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы равны 0, называется единичной матрицей и обозначается буквой Е.

Напомним, что

АЕ = А и ЕА = А.

Матрица называется ортогональной, если строки образуют ортогональную систему векторов и норма каждой строки равна единице.

Квадратная матрица называется симметрической, если

.

6.Определители. Всякое расположение чисел 1, 2, …, n в некотором определённом порядке называется перестановкой из n чисел.

Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию, если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j.

Перестановку называют чётной, если её символы составляют чётное число инверсий, и нечётной – в противоположном случае.

Всякое взаимно однозначное отображение А множества первых n натуральных чисел на себя называется подстановкой n-й степени, причём, очевидно, всякая подстановка А может быть записана при помощи двух перестановок, подписанных одна под другой.

6

Подстановка А будет чётной, если общее число инверсий в двух строках любой её записи чётно, и нечётной – в противоположном случае.

Определителем n-го порядка называется алгебраическая сумма n! членов, составленная следующим образом: членами служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному в каждой строке и в каждом столбце, причём член берётся со знаком плюс, если его индексы составляют чётную подстановку и со знаком минус в противоположном случае.

Для определителя квадратной матрицы А используется обозначение |A| или detA.

Свойства определителя:

1.определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной, т.е.

det(AT) = detA;

2.если все элементы строки умножить на

, то определитель умножится на ;

3. если каждый элемент некоторой строки определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у которых все строки, кроме данной прежние, а в данной строке в первом определителе стоят первые, а во втором – вторые слагаемые;

3’. аналогичные свойства для столбцов;

4. если две какие–либо строки (столбца) матрицы поменять местами, то определитель матрицы умножиться на (-1);

5. определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен 0;

6. определитель не изменится, если к какой–либо его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на

.

Алгебраическое дополнение

к элементу квадратной матрицы определяется равенством

,

где

(минор) – определитель матрицы, полученной удалением из А – й строки и – го столбца.

7

Определитель можно разложить по любой строке и любому столбцу.

Разложение по i–й строке имеет вид:

.

7.Обратная матрица. Матрица А, у которой detA≠0, называется невырожденной.

Обратная матрица В = А-1 (по отношению к матрице А) – такая матрица, что АВ = ВА = Е.

Обратная матрица существует в том и только в том случае, когда матрица А невырожденная.

В этом случае

, (9)

где

– алгебраические дополнения к элементам .

Если матрица А – ортогональная и симметрическая, то

А-1 = А.

8.Конечные разности. Конечные разности вектора

определяются рекуррентно :

Вместо

пишут обычно .

Конечную разность

порядка можно непосредственно выразить через значения вектора .

Справедлива формула

. (10)

8

§ 2. Пространство N – периодических комплекснозначных векторов

Зафиксируем натуральное число N. Определяем пространство следующим образом

.

Введём в

две операции – операция сложения двух векторов и операция умножения вектора на комплексное число:

В результате получим линейное комплексное пространство.

Введём символ

, у которого , когда делится на , и при остальных Очевидно, что

Лемма 1. Для

справедливо следующее равенство

(1)

Доказательство. Так как в обеих частях (1) стоят N–периодические векторы, проверим равенство при

Поскольку при выполняются неравенства