Решение задачи об оптимальной интерполяции с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ) (стр. 7 из 8)
Доказательство.
Пусть числа
определены без условий и 
33
Тогда число
- является решениемсистемы (1).
Действительно, так как
то
,так как все слагаемые в правой части делятся на
.Известно, что
.Последнее сравнение умножим на
: 
(2)Тогда
- решение сравнения 
Аналогично можно показать, что -решение всех остальных сравнений системы (1). Таким образом,
- решение системы (1).Докажем теперь единственность этого решения.
Пусть
- какое-нибудь другое решение данной системы, т.е. имеем 
(3)Сравнение (2) перепишем в виде
Вычитая из сравнения (2) сравнение (3), приходим к 
Таким образом, доказали единственность решения системы (1).
34
Задача 5. Докажите, что при
и натуральных 
справедливо равенство 
Доказательство. По определению вычета имеем
Итак,
Задача 6. Пусть
- взаимно простые и натуральные числа, т.е. 
Положим
Докажите, что множества 
равны, т.е. состоят из одних и тех же элементов.Доказательство. Общий элемент множества
представляется в виде: 
а множества
- в виде: 
Так как функции
периодические с периодом 
и 
пробегает 
, то их значения совпадают, т.е. множества 
равны.35
Задача 7. Докажите, что
Доказательство. (Метод математической индукции).
При
имеем верное равенство. Пусть верно и при 
Перейдём к случаю, когда
(верно).Задача 8. Докажите, что конечная разность
порядка от алгебраического полинома 
степени равна тождественно нулю.Доказательство. Как известно, если функция
имеет 
непрерывных производных на некотором промежутке и 
любые различные точки этого промежутка, то существует точка 
Отсюда следует, что
если 
алгебраический полином, у которого 
А производная
порядка, как известно, от полинома степени 
равно нулю.36
Задача 9. Докажите, что сигнал
является чётным тогда и только тогда, когда 
Доказательство.
Необходимость. Пусть
- чётный сигнал, т.е. выполняется равенство 
Тогда учитывая периодичность и чётность данного сигнала, имеем: 
Достаточность. Допустим имеем:
Покажем, что Действительно,
Задача 10.Приведём пример на вычисление ДПФ. Пусть
и 
Покажем, что
По определению ДПФ
Поскольку
то 
так что 
37
Остаётся учесть, что в случае, когда
не делится на (в частности, при нечётных ), справедливо равенство 
38
Программы
Листинг программы для вычисления ДПФ
uses crt;
const
N=3;
var
j, k:integer;
xm, X_r, X_i:array[0..N-1] of real;
begin clrscr;
for k:=0 to N-1 do
readln(xm[k]);
for j:=0 to N-1 do begin
X_r[j]:=0; X_i[j]:=0;
end;
for j:=0 to N-1 do
for k:=0 to N-1 do begin
X_r[j]:=X_r[j]+cos(2*pi*j*k/N)*xm[k];
X_i[j]:=X_i[j]+sin(2*pi*j*k/N)*xm[k];
end;
for j:=0 to N-1 do begin
if X_i[j]<0 then
writeln(X_r[j]:6:2, ' +i*', - X_i[j]:5:2)
else writeln(X_r[j]:6:2, ' - i*', X_i[j]:5:2)
end;
readkey;
end.
39
Листинг программы для вычисления свёртки
uses crt;
const N=3;
var
x, v:array[0..N-1] of real;
y:array[1-N..N-1] of real;
j, k:integer;
begin clrscr;
for k:=0 to N-1 do
readln(x[k]); writeln;
for k:=0 to N-1 do
{for j:=0 to N-1 do}
readln(y[k]); writeln;
{for j:=0 to N-1 do}
for k:=1 to N-1 do
y[-k]:=y[N-k];
{------------------------------------}
for k:=1-N to N-1 do writeln(y[k]:4:1); writeln;
{----------------------------------}
for j:=0 to N-1 do
v[j]:=0;
for j:=0 to N-1 do
for k:=0 to N-1 do
v[j]:=v[j]+x[k]*y[j-k];
for j:=0 to N-1 do
writeln(v[j]:4:1);
readkey;
end.
40
Листинг программы для вычисления одномерного массива
uses crt;
const nb=12; n=3; m=4;
var
l, s:array[1..m-1] of real;
D_r, D_i, SR, SI:array[1..n-1, 1..m-1] of real;
p, q, t:integer;
{-----------------------------------}
begin clrscr;
for p:=1 to m-1 do
s[p]:=0;
for p:=1 to m-1 do
for q:=0 to n-1 do
s[p]:=s[p]+1/(16*exp(4*ln(sin((pi*(p+m*q))/nb))));
for p:=1 to m-1 do
l[p]:=n/s[p];
for p:=1 to m-1 do
writeln(l[p]:4:1); writeln;
{----------------------------}
for t:=1 to n-1 do
for p:=1 to m-1 do begin
SR[t, p]:=0; SI[t, p]:=0; end;
for t:=1 to n-1 do
for p:=1 to m-1 do
for q:=0 to n-1 do
SR[t, p]:=SR[t, p]+cos((2*pi*q*t)/n)/(16*exp(4*ln(sin((pi*(p+m*q))/nb))));
SI[t, p]:=SI[t, p]+sin((2*pi*q*t)/n)/(16*exp(4*ln(sin((pi*(p+m*q))/nb))));
for t:=1 to n-1 do
for p:=1 to m-1 do
D_r[t, p]:=SR[t, p]*cos((2*pi*q*t)/nb)-SI[t, p]*sin((2*pi*q*t)/nb);
D_i[t, p]:=SR[t, p]*sin((2*pi*q*t)/nb)+SI[t, p]*cos((2*pi*q*t)/nb);
for t:=1 to n-1 do begin writeln;
for p:=1 to m-1 do
write(D_r[t, p]:5:1);
end;
readkey;
end.
41
Листинг программы для решения задачи оптимальной интерполяции