Комплексные числа (стр. 2 из 6)
; 
6)
,то есть для z = 0 будет
, j не определен.Арифметические действия над комплексными числами (Дайте определения и перечислите основные свойства арифметических действий над комплексными числами.)
Сложение (вычитание) комплексных чисел
z1 ±z2 = (x1 + iy1) ± (x2 + iy2) = (x1 ±x2) + i(y1 ±y2),(5)
то есть при сложении (вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) их действительные и мнимые части.
Примеры
1)(1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i;
2)(1 + 2i) – (2 – 5i) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i.
Основные свойства сложения
1)z1 + z2 = z2 + z1;
2)z1 + z2 + z3 = (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3);
3)z1 – z2 = z1 + (– z2);
4)z + (–z) = 0;
5)
.Умножение комплексных чисел в алгебраической форме
z1∙z2 = (x1 + iy1)∙(x2 + iy2) = x1x2 + x1iy2 + iy1x2 + i2y1y2 = (6)
= (x1x2 – y1y2) + i(x1y2 + y1x2),
то есть умножение комплексных чисел в алгебраической форме проводится по правилу алгебраического умножения двучлена на двучлен с последующей заменой
и приведением подобных по действительным и мнимым слагаемым.Примеры
1)(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i;
2)(1 + 4i)∙(1 – 4i) = 1 – 42 i2 = 1 + 16 = 17;
3)(2 + i)2 = 22 + 4i + i2 = 3 + 4i.
Умножение комплексных чисел тригонометрической форме
z1∙z2 = r1(cosj1 + isinj1)×r2(cosj2 + isinj2) =
= r1r2(cosj1cosj2 + icosj1sinj2 + isinj1cosj2 + i2 sinj1sinj2) =
= r1r2((cosj1cosj2 – sinj1sinj2) + i(cosj1sinj2 + sinj1cosj2))
Þ 
Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме , то есть при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Пример
Основные свойства умножения
1)z1×z2 = z2×z1 — коммутативность;
2)z1×z2×z3 = (z1×z2)×z3 = z1×(z2×z3) — ассоциативность;
3)z1×(z2 + z3) = z1×z2 + z1×z3 — дистрибутивность относительно сложения;
4)z×0 = 0; z×1 = z;
5)
.Деление комплексных чисел
Деление — это обратная умножению операция, поэтому
если z×z2 = z1 и z2 ¹ 0, то
.При выполнении деления в алгебраической форме числитель и знаменатель дроби умножаются на число, комплексно сопряженное знаменателю:
Деление комплексных чисел в алгебраической форме .(7)
При выполнении деления в тригонометрической форме модули делятся, а аргументы вычитаются:
Деление комплексных чисел в тригонометрической форме .(8)
Примеры
1)
;2)
.Возведение комплексного числа в натуральную степень
Возведение в натуральную степень удобнее выполнять в тригонометрической форме:
В результате получается формула Муавра:
Формула Муавра,(9)
то есть при возведении комплексного числа в натуральную степень его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
Пример
Вычислить (1 + i)10.
Решение:
Замечания
1. При выполнении операций умножения и возведения в натуральную степень в тригонометрической форме могут получаться значения углов
за пределами одного полного оборота. Но их всегда можно свести к углам 
или 
сбрасыванием целого числа полных оборотов по свойствам периодичности функций 
и 
.2. Значение
называют главным значением аргумента комплексного числа 
;при этом значения всех возможных углов
обозначают 
;очевидно, что
, 
.Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа
Корнем степени n из комплексного числаz, где
N, называется комплексное число w, такое что wn = z 
.Примеры
, так как 
; 
, так как 
; 
или 
, так как 
и 
.Из определения очевидно следует, что операция извлечения корня из комплексного числа является многозначной.
Если использовать формулу Муавра, то нетрудно доказать следующее утверждение:
существует при "z и если z¹ 0, то имеет n различных значений, вычисляемых по формуле 
Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа ,(10)
где
, 
— арифметический корень на 
.Все значения
расположены регулярным образом на окружности радиусом с начальным углом 
и углом регулярности 
.Примеры
1)
, k = 0, 1, 2 ÞÞ
, 
, 
.Ответ:
2)
, 
.