Комплексные числа (стр. 4 из 6)

Теорема Безу,(4)

гдеQn – 1(x) — целая часть от деления, является многочленом степени (n – 1).

Доказательство

w Запишем формулу деления с остатком:

Pn(x) = (x – х0)∙Qn – 1(x) + A,

гдеQn – 1(x) — многочлен степени (n – 1),

A — остаток, который является числом вследствие известного алгоритма деления многочлена на двучлен «в столбик».

Это равенство верно при "x, в том числе при x = х0 Þ

Pn(x0) = (x0 – x0)×Qn – 1(x0) + AÞ

A = Pn(х0), ч.т.д. v

Следствие из теоремы Безу. О делении многочлена на двучлен без остатка

Если число х0 является нулем многочлена, то этот многочлен делится на разность (x – х0) без остатка, то есть

Þ .(5)

Примеры

1)

, так какP3(1) º 0

Þ

.

2)

, так какP4(–2) º 0

Þ

.

3)

, так какP2(–1/2) º 0

Þ

.

Деление многочленов на двучлены «в столбик»:

_

_

_

_

_

Свойство 3 (о существовании нуля многочлена)

Теорема алгебры основная

Всякий многочлен степени n ³ 1 имеет, по крайней мере, один нуль, действительный или комплексный

Доказательство этой теоремы выходит за рамки нашего курса. Поэтому примем теорему без доказательства.

Поработаем по этой теореме и по теореме Безу с многочленом Pn(x).

После n-кратного применения этих теорем получим, что

,

гдеa0 — это коэффициент при xnв Pn(x).

Следствие из основной теоремы алгебры. О разложении многочлена на линейные множители

Любой многочлен степени

на множестве комплексных чисел разлагается на n линейных сомножителей, то есть

Разложение многочлена на линейные множители ,(6)

гдех1, х2, … хn — это нули многочлена.

При этом если k чисел из набора х1, х2, … хn совпадают между собой и с числом a, то в произведении (6) получается множитель (x – a)k. Тогда число x = a называется k-кратным нулем многочленаPn(x). Если k = 1, то нуль называется простым нулем многочленаPn(x).

Примеры

1)P4(x) = (x – 2)(x – 4)3 Þx1 = 2 — простой нуль, x2 = 4 — трехкратный нуль;

2)P4(x) = (x – i)4 Þx = i — нуль кратности 4.

Свойство 4 (о количестве корней алгебраического уравнения)

Любое алгебраическое уравнение Pn(x) = 0 степени n имеет на множестве комплексных чисел ровно n корней, если считать каждый корень столько раз, какова его кратность.

Примеры

1)x2 – 4x + 5 = 0 — алгебраическое уравнение второй степени

Þx1,2 = 2 ±

= 2 ±i — два корня;

2)x3 + 1 = 0 — алгебраическое уравнение третьей степени

Þx1,2,3 =

— три корня;

3)P3(x) = x3 + x2 – x – 1 = 0 Þx1 = 1, т.к. P3(1) = 0.

Разделим многочлен P3(x) на (x – 1):

x3	+	x2	–	x	–	1	x – 1
x3	–	x2	x2 + 2x +1
2x2	–	x
2x2	–	2x
x	–	1
x	–	1
0

Исходное уравнение

P3(x) = x3 + x2 – x – 1 = 0 Û(x – 1)(x2 + 2x + 1) = 0 Û(x – 1)(x + 1)2 = 0

Þx1 = 1 — простой корень, x2 = –1 — двукратный корень.

Свойство 5 (о комплексных корнях алгебраического уравнения с действительными коэффициентами)

Если алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексные корни, то эти нули всегда парные комплексно сопряженные, то есть если x0 = a + bi является корнем уравнения Pn(x) = 0, то число

также является корнем этого уравнения.

Доказательство

w нужно использовать определение и следующие легко проверяемые свойства операции комплексного сопряжения:

если

, то ;

; ; , ;

если

– действительное число, то .

Так как

является корнем уравнения , то

, где , – действительные числа.

Возьмем сопряжение от обеих частей последнего равенства и используем перечисленные свойства операции сопряжения:

, то есть число также удовлетворяет уравнению , следовательно, является его корнем, ч.т.д. v

Примеры

1)

– парные комплексно сопряженные корни;

2)

.