Вивчення поняття відносин залежності (стр. 2 из 8)
Приклад 3.
Нехай на множині A задане рефлексивне й симетричне бінарне відношення
(називане відношенням подібності). Підмножина X множини A будемо вважати залежним, якщо воно містить два різних елементи, що перебувають у відношенні .Оболонкою множини
служить множина 
У цьому випадку можна підсилити аксіому
відносини залежності в такий спосіб: 
Z 
Z.
Тоді оболонкою множини
буде множина всіх елементів, що перебувають відносно подібності хоча б з одним елементом із множини 
.Уведене відношення залежності буде транзитивним тоді й тільки тоді, коли відповідне бінарне відношення
буде транзитивне, тобто є відношенням еквівалентності на 
.У випадку, коли
- відношення еквівалентності буде незалежним тоді й тільки тоді, коли 
множина 
містить не більше одного елемента. Будь-яка максимальна незалежна підмножина буде містити рівно по одному елементі з кожного класу еквівалентності .Приклад 4.
Розглянемо чотирьох елементну множину
.Назвемо підмножину 
множини залежним тоді й тільки тоді, коли 
або 
.
Z 
.
Розглянемо підмножину
множини , по уведеному визначенню воно буде незалежно. Розглянемо оболонку множини 
й знайдемо оболонку оболонки нашої множини 
. Таким чином, ми одержали 
, тобто розглянуте нами відношення залежності не є транзитивним.Приклад 5.
Розглянемо довільну множину й
. Множина будемо вважати залежним, якщо B (А)\ B (В), тобто 
, але 
. Таким чином, одержали наступний транзитивний простір залежності: 
B (А)\ B (В. 
Оболонкою 
буде множина 
.Зокрема можна розглянути 2 випадки:
, тобто всі множини незалежні, тоді 
. B (А) 
, тобто всі множини, крім порожнього, будуть залежними, у цьому випадку 
.Приклад 6.
Розглянемо довільну множину і його непусту кінцеву підмножину
. Уведемо на множині А наступне відношення залежностіZ 
B (А) 
.
Таким чином, залежними будуть всі надмножини множини
.Якщо
, то 
.Якщо
, то .Якщо
, то 
.Одержуємо транзитивний простір залежності.
Приклад 7.
Підпростір простору залежності Z . Розглянемо
, де діє те ж відношення залежності Z. Тоді одержимо індукований простір залежності 
Z 
B 
. У цьому випадку залежними будуть тільки ті підмножини множини 
, які були залежні в просторі Z . І якщо простір Z транзитивне, те транзитивним буде й підпростір .Приклад 8.
Нехай
і Z = 
. Такий простір залежності Z не транзитивне, тому що 
й 
. Простір А має два базиси 
й 
, які є і єдиними мінімальними множинами, що породжують 
в.