Вивчення поняття відносин залежності (стр. 4 из 8)

Вкладеність. Об'єднання будь-якої системи вкладених друг у друга незалежних множин є незалежною множиною, тобто

- незалежно, де

також незалежні й

Доказ:

Доведемо від противного. Припустимо, що

залежно, тоді в ньому найдеться кінцева залежна підмножина : . Маємо , одержали протиріччя з незалежністю .

Максимальність. Будь-яка незалежна множина втримується в максимальній незалежній множині.

Доказ:

Нехай

- довільна незалежна множина в. Утворимо множину Z :

всіх незалежних множин, що містять . Відносно множина є впорядкованою множиною, що задовольняє по властивості вкладеності, умові леми Цорна. Тоді по лемі Цорна в існує максимальний елемент .

Теорема 2.

Будь-який простір залежності має базис.

Доказ:

Візьмемо порожню множину, вона незалежне. По властивості максимальності воно повинне втримуватися в деякій максимальній незалежній множині, що по теоремі 1 є базисом.

3. Транзитивність

Особливий інтерес представляють транзитивні простори залежності. Важливим результатом є доказ інваріантності розмірності будь-якого транзитивного простору залежності.

Доведемо деякі властивості, справедливі для транзитивних просторів залежності

Z

.

Властивість 1:

залежить від

.

Доказ:

залежить від , тобто , і . Розглянемо , тоді - незалежно й - залежно, а , одержуємо, що , тому . Маємо .

По визначенню 8 будь-яка підмножина залежить від

Властивість 2: Якщо

залежить від

, а

залежить від

, те

залежить від

.

Доказ:

Запишемо умову, використовуючи властивість 1

, а , тоді очевидно, що .

Властивість 3: Якщо X — мінімальна множина, що породжує, в A, те X - базис в A.

Доказ:

Нехай X — мінімальна множина, що породжує, в A. Покажемо, що воно не може бути залежним, тому що в цьому випадку його можна було б замінити власною підмножиною, що усе ще породжує A. Дійсно, у силу транзитивності відносини залежності, будь-яка множина, що породжує множина X, буде так само породжувати й множина A. Отже, X - незалежна множина, що породжує, що по визначенню 6 є базисом.

Властивість 4:

для кожного

.

Доказ: Потрібне із властивості 3.

Властивість 5 (про заміну.) :

Якщо X — незалежна множина й Y — множина, що породжує, в A, то існує така

підмножина множини Y,

що

й - базис для A.

Доказ:

Розглянемо систему J таких незалежних підмножин Z множини A, що

.

Тому що X незалежно, те такі множини існують; крім того, якщо

— деяке лінійно впорядкована множина множин з J, те його об'єднання знову належить J, оскільки Z задовольняє умові

, і якщо Z залежне, те деяка кінцева підмножина множини Z повинне було б бути залежним; ця підмножина втримувалося б у деякій множині в суперечності з тим фактом, що всі незалежні.

По лемі Цорна J має максимальний елемент М; у силу максимальності кожний елемент множини Y або належить М, або залежить від М, звідки

. Цим доведено, що М — базис в A. Тому що , те М має вигляд , де задовольняє умовам .■