Алгебра и топология (стр. 5 из 8)

Определение расстояния Хемминга векторами пространства свойств систем A₁,A₂,A₃ и A₄ и функцией

показывает, что лучшим приближением к набору наиболее «проявленных» свойств является система A₃.

В теории дискретных структур используется иногда понятие обобщенная метрика Хемминга. Смысл обобщения состоит в распространении оценки расстояния и на нечеткие множества. Последнее означает (см §4.3, п.1) введение вместо дискретной функции принадлежности m(x)={0,1} («не принадлежит» рассматриваемому множеству –0, «принадлежит» – 1) функции принадлежности m(x), определенной на множестве рациональных чисел, обычно на отрезке m(x)=[0,1].

С формальной стороны такое «обобщение» переводит метрику Хемминга в общеизвестную форму линейной метрики (см. пример 5.3, п.2). В самом деле,

(5.4),

подобна

(x, y) в п. 2 примера 5.3.

Представляется, что тонкость состоит в том, что фактически вводится в метрику некоторая функция-множитель – в данном случае характеристическая функция принадлежностиm(x) при этом часто неявно полагают все x_ij={1} (как, кстати, и сделано в примере 5.11, в таблице 5.1 – свойства x_j(

) в общем существуют, но уровень их не определен и в данном случае, не учитывается).

Такой подход открывает широкий спектр «обобщений» путем введения разнообразных функций-множителей.

Так, например, в теории эффективности систем распространено применение весовой функции, оценивающей «значимость» отдельный свойств (координат векторного пространства) в общем, показатель совершенства системы.

Отметим отличие весовой функции от характеристической. Значения весовой функции g(x), где xÎX, взаимосвязаны соотношением:

(5.5).

Здесь C некоторая величина, зависящая от выбора множества значений функции g(x).

Так, значениями g(x) могут быть ранги элементов. В простейшем случае это натуральные числа номеров мест в соответствие со значимостью x_jÎXj=1, 2,…, n=|X|. Тогда

.

Чаще всего используют приведенные значения функции g(x)

,

определенные на полуинтервале (0,1].

Функция принадлежности m(x_j) для каждого элемента x_jÎX ограничена лишь тем множеством М, на котором она определена.

Обычно М задают на отрезке [0,1]. Если суммировать принадлежности элементов x из множества мощности |C|=n, то сумма будет лежать в пределах

(5.6).

При этом верхнее значение имеет место, когда все m_j=1, а нижнее при всех m_j=0, (

).

Кроме того, алгебры весовых и характеристических функций различны. Первых – алгебра множеств рациональных чисел, а алгебра характеристических функций – одна из модификаций булевой алгебры (см. §2.3).

Если задать некоторую функцию f, например, предельную

или среднюю , в пространстве X, со значениями соответственно или , то близость систем по своим свойствам к функции будут отражать метрики:

(5.7)

(5.8).

Нетрудно видеть, что здесь весовая функция взята в виде набора постоянных коэффициентов, «взвешивающих» те или иные свойства системы в независимости от уровня этих свойств. При таких условиях на различие метрик d₁ основное влияние оказывают значения m(x) и x. Однако при метриках d₂ на их различие влияют все составляющие m(x), x и g.

В следующем примере 5.11.а дана детальная иллюстрация оценки близости в рассматриваемом пространстве X соответствующих множеств (систем) по набору их свойств на основе введения различных по структуре метрик.

Пример 5.11.а. Используя в качестве исходных данных пример 5.11, получим сравнительные оценки близости множеств A₁,A₂,A₃ и A₄.

С этой целью зададимся значениями показателя принадлежности m для всех возможных характеристик систем (табл. 5.2). При этом, там, где в табл. 5.1 показатель принадлежности равен 1, в табл. 5.2 назначим m(x)>0,5, в противоположном случае примем m(x)£0,5. В нижней строке табл. 5.2 приведены показатели для формирования мажорирующих функций. Здесь значения m(x) определялось по схеме.

||m_ij|| Таблица 5.2

xj Ai	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
A1	0,6	0,8	0,7	0,6	0,5	0,3	0,2	0,1
A2	0,1	0,2	1,0	0,9	0,9	0,3	0,7	0,4
A3	0,6	0,4	0,7	0,2	0,5	0,8	0,9	0,4
A4	0,6	0,4	0,3	0,2	0,4	0,8	0,9	1,0
	0,475	0,450	0,675	0,475	0,575	0,550	0,675	0,475
	0	0	1	0	1	1	1	0

||x_ij|| Таблица 5.3

xj Ai	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
A1	0,9	0,8	0,6	0,6	0,2	0,1	0,1	0,2
A2	0,2	0,1	0,6	0,7	0,8	0,1	0,9	0,1
A3	0,2	0,2	0,3	0,1	0,1	0,9	0,8	0,6
A4	0,6	0,2	0,1	0,1	0,2	0,6	0,6	0,2
	0,20	0,08	0,15	0,10	0,05	0,25	0,12	0,05

.

Такой подход связан с тем, что ближайшими числами к 1, являются числа большие 0,5, а к 0 – меньшие 0,5.

Число 0,5 приравнивается к 0 из тех соображений, что булева мажоранта (см. пример 5.11) ровна нулю, если одинаково число единиц и нулей в множестве ее переменных.

Таблица 5.4, в которой в метрику введены только весовые коэффициенты, а показатели принадлежности точно такие же, какие использованы в таблице 5.1, показывает существование влияния весовых коэффициентов на близость к соответствующим функциям сравнения. При этом следует отметить совпадение оценки в предыдущем разделе примера по мажоранте и средней функции в данной части (вновь наибольшей близостью отличается система A₃).

Таблица 5.4

Свойства Системы		x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
при из табл. 5.1 из табл. 5.3 и все xij={1}.	A1 A2 A3 A4	20	8	15	10
		15	10	5	12
		20	15	25	12
		20	25	12	5
– мажоранта при		20	15	12
,		0	8	0	10	0	0	12	0
,		20	0	0	10	5	0	0	0
,		0	0	0	0	0	25	0	0
,		0	0	15	0	0	25	0	5
– средняя при		15	2	11,25	5	1,25	12,5	9	1,25
,		5	6	3,75	5	1,25	12,5	9	1,25
,		15	2	3,75	5	3,75	12,5	3	1,25
,		5	2	3,75	5	1,25	12,5	3	1,25
,		5	2	11,25	5	1,25	12,5	3	3,75

Таблицы 5.5 и 5.6 рассчитаны при введении в метрику и весовых коэффициентов и уровней характеристик систем, соответственно при целочисленных значениях x показателей принадлежности и достаточно произвольной выборки на отрезке [0,1]. В последнем случае оговорка «достаточно» связана с тем, что набор показателей принадлежности ограничивался близостью к установленным их значениям в табл. 5.1, в остальном же, осуществлялся произвольно.