Ответы по геометрии для 9 класса (стр. 1 из 6)
Ответы по геометрии для 9 класса
1. Признаки параллельности прямых (формулировки и примеры).
2. Решение треугольника по стороне и двум углам.
3. Задача по теме «Углы, вписанные в окружность».
4. Задача по теме «Длина окружности».
6. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
7. Задача по теме «Неравенство треугольника».
8. Третий признак равенства треугольников (формулировка и пример).
9. Теорема об углах, вписанных в окружность.
11. Задача по теме «Трапеция».
12. Теорема о сумме углов треугольника (формулировка и пример).
13. Решение треугольника по трем сторонам.
14. Задача по теме «Средняя линия трапеции».
16. Свойство углов равнобедренного треугольника.
17. Задача по теме «Подобие треугольников».
18. Задача по теме «Параллелограмм».
20. Признак равнобедренного треугольника.
21. Задача по теме «Подобие треугольников».
22. Задача по теме «Прямоугольник».
24. Свойство медианы равнобедренного треугольника.
25. Задача по теме «Подобие треугольников».
26. Задача по теме «Ромб. Квадрат».
27. Теорема косинусов. Пример ее применения для решения треугольников.
28. Окружность, вписанная в треугольник.
29. Задача по теме «Параллельные прямые».
30. Задача по теме «Теорема Пифагора».
31. Теорема синусов. Пример ее применения для решения треугольников.
32. Окружность, описанная около треугольника.
33. Задача по теме «Сумма углов треугольника».
34. Задача по теме «Трапеция».
35. Построение с помощью циркуля и линейки треугольника по трем сторонам.
36. Сложение векторов. Свойства сложения векторов.
37. Задача по теме «Многоугольники».
38. Умножение вектора на число. Свойство произведения вектора на число.
39. Задача по теме «Многоугольники».
40. Задача по теме «Свойства прямоугольного треугольника, у которого один угол равен 30°».
41. Построение с помощью циркуля и линейки биссектрисы угла.
43. Задача по теме «Параллелограмм».
44. Задача по теме «Углы, вписанные в окружность».
45. Построение с помощью циркуля и линейки перпендикулярной прямой.
46. Признаки подобия треугольников (доказательство одного из них).
47. Задача по теме «Прямоугольник».
48. Задача по теме «Углы, вписанные в окружность».
49. Деление отрезка пополам с помощью циркуля и линейки.
50. Теорема о средней линии треугольника.
51. Задача по теме «Ромб. Квадрат».
52. Задача по теме «Равнобедренный треугольник».
53. Свойство параллелограмма (формулировки и примеры).
54. Теорема о внешнем угле треугольника.
55. Задача по теме «Признаки равенства треугольников».
57. Теорема о средней линии трапеции (формулировка и пример).
58. Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника.
59. Задача по теме «Признаки равенства треугольников».
60. Задача по теме «Решение прямоугольных треугольников».
62. Свойство диагоналей ромба.
63. Задача по теме «Равнобедренный треугольник».
64. Задача по теме «Подобие треугольников».
66. Свойство диагоналей прямоугольника.
67. Задача по теме «Равнобедренный треугольник».
68. Задача по теме «Параллельные прямые».
69. Первый признак равенства треугольников.
71. Задача по теме «Многоугольники».
72. Формулы площади треугольника (формулы и примеры).
74. Задача по теме «Равнобедренный треугольник».
75. Задача по теме «Углы, вписанные в окружность».
76. Формулы площади прямоугольника и параллелограмма (формулы и примеры).
77. Второй признак равенства треугольников.
78. Задача по теме «Средняя линия треугольника».
79. Формула площади трапеции (формула и пример).
80. Признак равенства прямоугольных треугольников.
82. Задача по теме «Окружность, вписанная в треугольник».
83. Формула площади круга (формула и пример).
85. Задача по теме «Окружность, описанная около треугольника».
86. Задача по теме «Геометрическое место точек».
1. Признаки параллельности прямых (формулировки и примеры).
I. Две прямые, параллельные третьей* параллельны.
II. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны
III. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
IV. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.
2. Решение треугольника по стороне и двум углам.
Решить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам — это значит при заданных стороне и двум прилежащим к ней углам найти третий угол и две другие стороны.
Единственность решения вытекает из признака равенства треугольников:
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Задача по теме «Углы, вписанные в окружность».
4. Задача по теме «Длина окружности».
5. Свойство углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой (формулировки и примеры).
I. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.
II. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
III. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
П. Найдите градусную меру угла КАВ, если ABC = 58°.
Решение. Угол КАВ образует пару внутренних односторонних углов с углом ABC при пересечении параллельных прямых KD и CG третьей прямой AL. Поэтому KAB + ABC = 180°, откуда KAB = = 180° - 58° = 122°.
III. Найдите градусную меру угла LBC, если KAB = 122°.
Решение. Угол LBC образует пару соответственных углов с углом КАВ при пересечении параллельных прямых KD и CG третьей прямой AL. Поэтому КАВ = LBC = 122°.
6. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Решить треугольник по двум сторонам и углу между ними — это значит при заданных двух сторонах и углу между ними найти третью сторону и два других угла.
Единственность решения задачи вытекает из признака равенства треугольников:
если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
7. Задача по теме «Неравенство треугольника».
Расстояния от точки А до точек В и С равны 3 см и 14 см соответственно, а расстояния от точки D до точек В и С равны 5 см и 6 см соответственно. Докажите, что точки А, В, С и D лежат на одной прямой.
Дано: АВ = 3 см, АС = 14 см, DB = 5 см, DC = 6 см.
Доказать: точки А, В, С и D лежат на одной прямой.
Доказательство 1. Предположим, что точки А, В, С и D не лежат на одной прямой. Возможны два случая: точки А и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой ВС, точки А и D (рис. а) лежат в разных полуплоскостях (рис. б). Доказательство для обоих случаев аналогично.
Из треугольника ABC в силу неравенства треугольника следует, что АС < АВ + ВС; 14 < 3 -I- BC; т. е. ВС > 11. Из треугольника ABD следует неравенство ВС < BD + DC = 5 + 6, т. е. ВС < 11. Пришли к противоречию, следовательно, точки А, В, С и D лежат на одной прямой.
Доказательство 2. Воспользуемся неравенством треугольника, которое состоит в следующем: для любых трех точек Р, Q и R PR < PQ + QP, причем PR = PQ + QR в том и только в том случае, когда точка Q лежит между Р и R.
Тогда ВС
< 14 е. т. АВ АС 11,>
Кроме того, АС = АВ + ВС =14, так что точка В лежит между А и С на прямой ВС. Но тогда и А лежит на прямой ВС.
Таким образом, все четыре точки лежат на прямой ВС, что и требовалось доказать.