Классические методы безусловной оптимизации (стр. 4 из 5)
тогда достаточные условия будут иметь вид:
, 
- точка локального условного минимума. 
, - точка локального условного максимума.Доказательство: Алгоритм ММЛ:
1) составляем функцию Лагранжа:
;2) используя необходимые условия, формируем систему уравнений:
3) из решения этой системы находим точку
;4) используя достаточные условия, определяем, является ли точка
точкой локального условного минимума или максимума, затем находим 
1.5.4. Графо-аналитический метод решения классической задачи условной оптимизации в пространстве
и его модификации при решении простейших задач ИП и АПЭтот метод использует геометрическую интерпретацию классической задачи условной оптимизации и основан на ряде важных фактов, присущих этой задаче.
; 
; 
; 
В
- общая касательная для функции 
и функции 
, представляющей ОДР 
.Как видно из рисунка точка
- точка безусловного минимума, точка 
точка условного локального минимума, точка 
- точка условного локального максимума.Докажем, что в точках условных локальных экстремумов кривая
и соответствующие линии уровня ; .Из курса МА известно, что в точке касания выполняется условие
где
- угловой коэффициент касательной, проведенной соответствующей линией уровня; 
- угловой коэффициент касательной, проведенной к функции Известно выражение (МА) для этих коэффициентов:
; 
Докажем, что эти коэффициенты равны.
; 
потому что об этом "говорят" необходимые условия
.Вышесказанное позволяет сформулировать алгоритм ГФА метода решения классической задачи условной оптимизации:
1) строим семейство линий уровня целевой функции:
; 
;2) строим ОДР, используя уравнение ограничения
3) с целью внесения исправления возрастания функции
, находим 
и выясняем характер экстремальных точек;4) исследуем взаимодействие линий уровня и функции
, находя при этом из системы уравнений 
координаты условно стационарных точек – локальных условных минимумов и локальных условных максимумов.5) вычисляем
Следует особо отметить, что основные этапы ГФА метода решения классической задачи условной оптимизации совпадают с основными этапами ГФА метода решения задач НП и ЛП, отличие лишь в ОДР
, а также в нахождении местоположения экстремальных точек в ОДР (например, в задачах ЛП эти точки обязательно находятся в вершинах выпуклого многоугольника, представляющего ОДР ).5.5. О практическом смысле ММЛ
Представим классическую задачу условной оптимизации в виде:
(1) 
(2)где
- переменные величины, представляющие в прикладных технических и экономических задачах переменные ресурсы.В пространстве
задача (1), (2) принимает вид: 
(1') 
где
- переменная величина. (2')Пусть
- точка условного экстремума: 
При изменении
изменяется 
, т.е. 
Соответственно изменится и значение целевой функции:
Вычислим производную:
. (3) 
(4) 
(5)Из (3), (4), (5)
. (6)Из (5)
. (5')Подставим (5') в (3) и получаем:
(6')Из (6)
, что множитель Лагранжа 
характеризует "реакцию" значение 
(ортогональна значению целевой функции) на изменения параметра .В общем случае (6) принимает вид:
; 
(7)Из (6), (7)
, что множитель 
, характеризует изменение при изменении соответствующего 
-того ресурса на 1.Если
- максимальная прибыль или минимальная стоимость, то , характеризует изменения этой величины при изменении , на 1.