Произведения конечных групп близких к нильпотентным (стр. 6 из 20)
1.2.13 Л е м м а (Амберг [20]).Пусть 
– группа, факторизуемая двумя подгруппами 
и 
и 
– некоторые подгруппы конечных индексов соответственно групп 
и 
– подгруппа, порожденная и 
Тогда индекс подгруппы 
в конечен.
1.2.14 Л е м м а (Амберг [21]).Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами и 
с конечными фактор-группами 
и 
Тогда фактор-группа 
конечна и
1.2.15 С л е д с т в и е.Пусть – группа, факторизуемая 
попарно перестановочными подгруппами 
, 
с конечными фактор-группами 
Тогда фактор-группа конечна и 
.
1.2.16 Л е м м а.Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами и 
и 
– некоторые непустые инвариантные множества элементов соответственно групп и 
Тогда для любых элементов 
и 
группы найдется такой ее элемент 
что 
и 
1.2.17 Л е м м а (Виландт [16]).Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами и 
Тогда для любых элементов и группы 
во-первых, найдется такой ее элемент что 
и 
и, во-вторых, выполняется соотношение 
1.2.18 Л е м м а (Виландт [16]).Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами и – некоторая подгруппа группы 
Следующие условия равносильны:
1) подгруппа
факторизуема относительно разложения 
и содержит пересечение 
2) каковы бы ни были элементы
и 
произведение 
содержится в в том и только том случае, когда элементы 
и 
содержатся в 
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть выполняется условие 1). Покажем, что выполняется условие 2).
Пусть
и 
– элементы, для которых 
Так как подгруппа факторизуема относительно разложения 
то 
для некоторых элементов 
и 
Отсюда получаем 
и
Итак, при условии 1) выполняется условие 2). Обратное очевидно. Лемма доказана.
1.2.19 С л е д с т в и е.Пусть – группа, факторизуемая двумя подгруппами и 
– подгруппа группы содержащая пересечение 
и факторизуемая относительно разложения 
и 
– некоторые подгруппы соответственно групп и содержащие пересечение 
При этих условиях подгруппа факторизуема подгруппами 
и 
тогда и только тогда, когда 
и 