Формации конечных групп (стр. 12 из 14)

Пусть теперь для формации

выполняется условие . Тогда по лемме 8 – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Снова применяя лемму 8, получим, что – -критическая формация, …, – минимальная не -формация и – -базисная группа. Если , то по лемме 11 формация имеет -дефект 1. Противоречие. Значит, . Так как при этом, , то -дефект формации равен 1. Таким образом, группа удовлетворяет условию 3.3) теоремы.

Достаточность. Пусть для формации

выполнено условие 1) теоремы и – циклическая примарная группа порядка , . Пусть – минимальный -кратно -локальный спутник формации . По лемме 14 имеем . Так как , то . Заметим, что является единственной максимальной подформацией формации , где – группа порядка .

Построим

-кратно -локальный спутник , принимающий следующие значения , при , , при . Рассмотрим -кратно -насыщенную формацию . Пусть – минимальный -кратно -локальный спутник формации . Тогда так как , то, ввиду леммы 17, .

Пусть

– произвольная собственная -кратно -насыщенная подформация формации . И пусть – минимальный -кратно -локальный спутник формации . Если , то так как , получаем . Следовательно, . Противоречие. Значит, . Тогда, так как – единственная максимальная подформация , то и для , т.е. . По лемме 17 получаем, что . Таким образом, – единственная максимальная -кратно -насыщенная подформация формации , т.е. является -неприводимой формацией.

Поскольку

, то ввиду леммы 15 существует точный неприводимый -модуль , где – поле из элементов. Пусть . Тогда, так как , то, ввиду леммы 16, . Если предположить, что , то по лемме 17 получаем , где – минимальный -кратно -насыщенный спутник формации . Но тогда . Противоречие. Значит, , т.е. формация порождается группой Шмидта и имеет нильпотентный -дефект 1. Но тогда -дефект формации равен 2.