Формации конечных групп (стр. 8 из 14)

В силу леммы 11

, где – такая монолитическая группа с цоколем , что либо , либо и выполняется одно из следующих условий:

(1)

–группа Шмидта с , где – абелева -группа, и – простое число;

(2)

– неабелева -группа , где .

Заметим, что если

, то любая -насыщенная подформация из является насыщенной. Следовательно, любая -кратно -насыщенная подформация формации является -кратно насыщенной. По лемме 6 при всякая -кратно насыщенная формация с -дефектом 2 приводима. Поэтому при формация не может быть

-неприводимой формацией, что противоречит условию. Таким образом, .

Допустим, что

– неабелев цоколь группы . Пусть и . Тогда по лемме 12 имеем . Значит,

Пусть для формации

выполнено условие (1). Предположим, что . Так как , то имеем . Тогда – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Значит, , и -дефект формации равен 1 по лемме 11. Противоречие. Поэтому . Используя лемму 9, имеем

.

Следовательно,

.

Покажем, что

. Действительно, если , то найдется такое , что . Поскольку , то . Тогда . Так как делит порядок , то по лемме 12 имеем . Тогда – минимальная -кратно -насыщенная не -формация. Поскольку и , то . Так как при этом и , то . Но . Противоречие. Поэтому .

По лемме 9 имеем

Следовательно, и является минимальной -кратно -насыщенной не -формацией.

Ясно также, что

, поскольку в противном случае -дефект формации равен 1 в силу леммы 11.

Если

, то . Значит, является минимальной -кратно -насыщенной не -формацией. Поэтому . Значит, , и формация удовлетворяет условию 2.1) теоремы.