Ряды Фурье Интеграл Фурье Операционное исчисление (стр. 2 из 19)

Следствие. Если

, то (теорема Пифагора).

4. Обобщенная теорема Пифагора. Если функции

(k = = 1, 2, …, n) попарно ортогональны на промежутке , то

.

Используя свойство билинейности скалярного произведения, получим

.

В силу ортогональности функций

скалярные произведения при , поэтому

.

5. неравенство Коши – Буняковского

, или, что то же самое,

.

При любых вещественных

.

Таким образом, квадратный трехчлен в левой части последнего неравенства сохраняет знак на всей вещественной оси, следовательно, его дискриминант

.

Упражнение 1. Доказать свойства скалярного произведения функций 1-3.

Упражнение 2. Показать справедливость следующих утверждений:

а) функция

ортогональна функциям и на промежутке при любых целых k и m;

б) при любых целых k и m функции

и ортогональны на промежутке ;

в) функции

и , а также и при ортогональны на промежутках и ;

г) функции

и не ортогональны на промежутке .

Упражнение 3. Используя свойство нормы 5, доказать неравенство треугольника

.

§ 3. Ортогональные системы функций. Коэффициенты Фурье. Ряд Фурье

Счетное множество непрерывных на промежутке

функций образуют на этом промежутке ортогональную систему, если

1.

, 2. при .

Пусть

– ортогональная система функций на промежутке и . По аналогии с (1.2) образуем величины

, (3.1)

где

.

Числа

называются коэффициентами Фурье функции относительно ортогональной системы .

Ряд

(3.2)

называется рядом Фурье для функции

.

В отличие от того, что имеет место в векторной алгебре [см. (1.1)], здесь нельзя утверждать ни того, что суммой ряда Фурье (3.2) является заданная функция

, ни даже того, что ряд (3.2) вообще сходится. Тем не менее, частичные суммы ряда (3.2), называемые полиномами Фурье, играют важную роль в задаче аппроксимации функции линейными комбинациями функций .

Термином аппроксимация будем обозначать замену заданной функции

другой, близкой к , функцией , более простой или более удобной для исследования. При этом, естественно, возникает вопрос о величине погрешности, связанной с такой заменой. Погрешность аппроксимации обычно оценивается с помощью среднего квадратического отклонения

,

или более простой величины

.

Ясно, что чем меньше величина δ, тем ближе располагаются друг к другу графики функций

и , тем лучше функция аппроксимирует функцию .

Определим, при каком наборе коэффициентов

линейная комбинация

первых п функций ортогональной системы

наилучшим образом аппроксимирует функцию , или, иначе говоря, при каких величина принимает наименьшее значение.

Преобразуем выражение для d_п, используя последовательно теорему косинусов, свойство билинейности скалярного произведения, обобщенную теорему Пифагора и формулу (3.1) для коэффициентов Фурье:

.

Применив тождество

, получим

Из последнего выражения сразу следует, что

принимает наименьшее значение

, (3.3)

при

Таким образом, именно частичная сумма

ряда Фурье является наилучшей аппроксимацией функции по сравнению с другими линейными комбинациями функций

Упражнение. Показать, что, во-первых, система функций

ортогональна на промежутке , и, во-вторых, системы функций и ортогональны на промежутке .