Устойчивость по Ляпунову (стр. 5 из 9)

В качестве примера рассмотрим уравнение

где

. Это уравнение эквивалентно системе

Будем искать вектор-градиент

в форме

В силу системы получим

Удобно положить

, , . Условия потенциальности поля дают . Таким образом, имеем , , . Формула дает нам

или, что то же самое,

Так как

, то условия устойчивости имеют вид и

Понятие продолжимости решения. Признак Винтера-Еругина

Пусть

--- решение системы уравнений , определенное на некотором интервале

, и

--- решение той же системы уравнений , определенное на некотором интервале

. Будем говорить, что решение является продолжением решения , если . Решение будем называть непродолжаемым, если не существует никакого отличного от него решения, являющегося его продолжением.

Покажем, что каждое решение может быть продолжено до решения, далее непродолжаемого. В этом смысле непродолжаемые решения исчерпывают совокупность всех решений.

Пусть

--- векторная запись нормальной системы уравнений . Тогда справедлива следующая теорема :

Теорема 1. Существует непродалжаемое решение уравнения с произвольными начальными значениями из

.

2. Если некоторое непродолжаемое решение уравнения совпадает с некоторым другим решением уравнения , хотя бы при одном значении

, то оно является продолжением этого решения.

3. Если два непродолжаемых решения уравнения совпадают между собой хотя бы для одного значения

, то они полностью совпадают, т.е. имеют один и тот же интервал определения и равны на нем.

Пусть

--- решение системы с начальным условием . Ясно, что:

а) либо это решение может быть продолжено для всех значений

, и тогда будем говорить, что решение неограниченно (бесконечно) продолжаемо [в право];

б) либо существует такое

, что при , и тогда будем говорить, что решение имеет конечное время определения.

Эти две возможности явно несовместимы и дополняют друг друга. Третий случай

в) решение ограничено.

--- совместим с возможностью а), но, конечно, несовместим с б).

Отметим, следующее

Свойство Если решение

ограничено в своем максимальном промежутке существования , то оно бесконечно продолжаемо, т.е. .

Ограниченность всех решений представляет собой своего рода устойчивость; в этом случае говорят об устойчивости в смысле Лагранжа или, короче, об устойчивости по Лагранжу.

Неограниченная продолжимость решений системы является необходимым условием устойчивости по Ляпунову решений этой системы.

Пример

Все решения данного уравнения

бесконечно продолжаемы, но не ограничены.

Пример

На интервале

, для любого все решения данного уравнения бесконечно продолжаемы и ограничены.

Пример

Все решения

, имеют конечное время определения.

Приведем без доказательства теорему Майергофера-Еругина.

Теорема Майергофера-Еругина

Пусть решение

уравнения

где функция

непрерывна для всех и , определено на промежутке и непродолжимо для значений .

Тогда при

, где --- граница области .

Предположим теперь, что в окрестности любой точки

выполняются условия существования решения уравнения . Для простоты предположим, что --- скаляр.

Теорема признак Винтнера-Еругина

Пусть функция

уравнения определена и непрерывна для всех вещественных и как функция двух переменных.

Тогда любое решение уравнения неограниченно продолжим в обе стороны, если только выполнено неравенство

где

--- функция, удовлетворяющая условию

где

--- число.

Доказательство проведем методом от противного.

Пусть существует решение

, которое не является неограниченно продолжимым, например, вправо. Тогда на основании теоремы Майергофера-Еругина существует некоторое число такое, что принимает разных знаков и при .