Устойчивость по Ляпунову (стр. 6 из 9)
Ввиду непрерывности решения
как функции от 
оно должно бесконечное число раз проходить через нуль. А это означает, что существует последовательность значений , по которой это решение стремится к нулю. Это невозможно (по теореме Майергофера-Еругина).Допустим, что
при 
. Так как --- решение уравнения , то 
в промежутке 
. Допустим, что 
не меняет знак. Тогда 
Проинтегрируем обе части по отрезку
, где 
получим
Произведем замену
. Получим 
Тогда
Таким образом получаем
Теперь пусть
. Учтем, что с заменой 
и получаем 
по условию теоремы. Это неравенство противоречиво, так как слева стоит конечная величина.
Рассмотрим общий случай, когда
может менять знак. Тогда 
Так как
при , то с некоторого момента величина 
станет положительной и знак модуля можно будет опустить. Тогда получим 
Проинтегрируем обе части от
до , где --- значение, после которого становится положительным.Сделаем замену
, получим 
Устремим
и учтем 
Последнее неравенство противоречиво, что говорит о том, что не существует решения, которое не является неограниченно продолжимым вправо.
Применение функций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных систем
Развитие метода функций Ляпунова
Метод функций Ляпунова дал довольно сильный и гибкий аппарат исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений. Модификации этого используют сейчас и для выявления других свойств решений дифференциальных уравнений. Например, японский математик Окамура использовал идеи, сходные с идеями второго метода Ляпунова, для изучения продолжимости решений, а затем Йошизава применил этот метод для получения сведений об ограниченности решений.
Как известно, Теоремы Ляпунова дают возможность судить об устойчивости по знаку производной
, где 
--- положительно определенная функция. Таким образом изучается неравенство 
. После работ русского ученого С.А. Чаплыгина началось широкое применение дифференциальных неравенств в теории дифференциальных уравнений. Развитие теории привело к сочетанию метода функций Ляпунова с методом дифференциальных неравенств: начали рассматривать функции Ляпунова в дифференциальных неравенствах вида 
что позволяет получить, в частности, интересные выводы относительно продолжимости и ограниченности решений. Остановимся кратко на этом вопросе .
Если рассмотреть систему
то ее решение
может быть ограниченным, иметь конечное время определения или существовать для всех .В неравенстве нас будут интересовать только его положительные решения. Сами неравенства могут быть двух типов:
а) неравенства, не имеющие ни одного положительного решения с конечным временем определения;
б) неравенства, не имеющие ни одного положительного неограниченного решения. Заметим, что в дальнейшем, если под
понимается некоторое множество, то через 
обозначается дополнение этого множества в пространстве.Приведем без доказательства несколько утверждений .
Предположим, что
--- ограниченное множество пространство 
, содержащее начало координат, и что функция 
определена во всем множестве 
и при всех 
. Допустим далее, что 
при 
равномерно на каждом интервале изменения времени 
. Наконец, предположим, что 
, во всем и для . Если неравенство не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения, то каждое решение 
системы неограниченно продолжаемо.Для применения результатов такого рода часто полагают
, то есть неравенство записывается в виде 
Если
, то неравенство , при непрерывности 
для всех и положительности и непрерывности 
для 
, не имеет ни одного положительного решения с конечным временем определения. Если
, 
, то неравенство не имеет ни одного положительного неограниченного при решения.Пусть
и имеют тот же смысл, что и в теореме , 
при равномерно по и . Если неравенство не имеет ни одного положительного неограниченного при всех решения, то система устойчива в смысле Лагранжа.