Некоторые темы геометрии (стр. 3 из 5)

с учетом которых можно уравнение преобразовать

,

которое известно, как уравнение плоскости.

ПРЯМАЯ КАК ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Прямой линией назовем пересечение двух плоскостей в пространстве. Определение можно записать математически как

.

ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

Пусть плоскости a и b (рис. 6) заданы уравнениями:

и

,

где

; ,

система из этих уравнений:

Уравнения называются общими уравнениями прямой в

пространстве, записанными в векторной форме.

ТЕМА 6Матрицы и определители.

МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Матрицей A называется любая прямоугольная таблица, составленная из чисел

, которые называют элементами матрицы и обозначается

Если в выражении (1) , то говорят о квадратной матрице, а если , то о прямоугольной.

Суммой двух матриц

и называется матрица C, у которой , и записывают .

Произведением матрицы

на число называется такая

матрица C = (c_ij), у которой (c_ij) = (ka_ij).

Если матрица A не нулевая, т.е. существует хотя бы один

элемент матрицы A, отличный от нуля, тогда всегда можно указать натуральное число такое, что 1) у матрицы A имеется минор го порядка ; 2) всякий минор матрицы A порядка и выше равен нулю, тогда число , обладающее указанными свойствами называется рангом матрицы A и обозначается . Из определения вытекает, что 1) ранг любой прямоугольной матрицы не должен быть больше, чем минимальный размер матрицы. Если матрица квадратная, то ранг не может быть больше, чем размер матрицы. Математически это можно выразить так 2) если все элементы матрицы A равны нулю, т. е. ,то ранг этой матрицы тоже будет равен нулю .

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ИХ СВОЙСТВА

Определителем n-го порядка называется число

равное алгебраической сумме , где есть алгебраические дополнения элемента , а - есть соответствующие миноры, т.е. определители (n-1)-го порядка, получающиеся из исходного определителя вычеркиванием первой строки и n-го столбца, на пересечение которых находится элемент .

Количество строк (или столбцов) в определителе называется порядком определителя

СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Решением системы называется совокупность из n чисел (с₁, с₂, ..., с_n), которые, будучи подставленными в систему на место неизвестных x₁, x₂, ..., x_n, обращают все уравнения системы в истинные равенства

Систему уравнений, имеющую хотя бы одно решение, называют совместной, систему, не имеющую решений, - несовместной.

Решения

и считают различными, если хотя бы одно из чисел не совпадает с соответствующим числом

Если совместная система имеет единственное решение, то она называется определнной; если совместная система имеет по крайней мере два различных решения, то она называется неопределенной.

Формулы Крамера

.

Метод Гаусса.

Пусть А - невырожденная матрица, то есть det A 0, и, следовательно, она имеет обратную матрицу А^-1. Умножив обе части на А^-1 слева, получаем:

А^-1 (А Х) = А^-1 В (А^-1 А)Х = А^-1 В Е Х = А^-1 В, то есть Х = А^-1 В и есть искомое решение системы (14). Действительно, подставив (16) в (14), получим А (А^-1 В) = (А^-1 А)В = Е В = В.

ТЕМА 7. Предел функции.

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ.

Если некоторому множеству значений

поставлено по определенному правилу F во взаимнооднозначное соответствие некоторое множество , то тогда говорят, что на множестве определена функция . Множество называется областью изменения функции, множество – областью определения функции. Такая функция называется однозначной.

ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Если некоторому множеству значений

поставлено по определенному правилу F несколько значений из множества , то тогда говорят, что на множестве задана многозначная функция.

Для того чтобы обозначить, что

есть функция от , используют следующие виды записи: ; ; и т.д.

Если невозможно выразить

, тогда говорят, что задана неявная функция и записывают: ; ; и т.д.

Если надо выделить некоторое частное значение функции, соответствующее какому-либо конкретному значению

, тогда записывают: .

Если каждому натуральному n по какому-либо известному правилу поставлено в соответствие некоторое число

, тогда говорят, что задана последовательность ,которая обозначается как Правило, по которому формируется последовательность , обозначается как и называется общим числом последовательности. Число назовем пределом последовательности при стремящимся к , если для любого положительного, наперед заданного числа e, определяющего окрестность точки A, можноуказать такую d, что для любого , отличного от из отрезка значений функции принадлежит и это записывают как .