Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (стр. 2 из 3)
Kl,3=fl(xi + 
, y1,i + K1,2, y2,i + K2,2,…,ym,i + Km,2), i=1, 2, …, m, (13)
Kl,4=fl(xi + h, y1,i + hK1,3, y2,i + hK2,3,…,ym,i + hKm,3), i=1, 2, …, m,
Yl,i+1 = yl,i + 
( Kl,1 + 2 Kl,2 + 2 Kl,3 + Kl,4), i=1, 2, …, m,
Здесь через yl,i обозначается приближенное значение функции yl(x) в точке xi .
Обратите внимание на порядок вычислений по формулам (13). На каждом шаге сначала вычисляются коэффициенты Kl,i в следующем порядке:
K1,1, K2,1,…, Km,1,
K1,2, K2,2,…, Km,2,
K1,3, K2,3,…, Km,3,
K1,4, K2,4,…, Km,4,
и лишь затем приближенные значения функций y1,i+1, y2,i+1,…, ym,i+1.
Задачи Коши для дифференциальных уравнений n-го порядка
y(n)=f(x, y, y', …, y(n-1)), x 
(x0, X), (14)
y(x0)=y0, y'(x0)=y1,0, …, y(n-1)(x0)=yn-1,0 (15)
сводятся к задаче Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка с помощью замены переменных
z0= y, z1= y',…, zn-1= y(n-1). (16)
Учитывая (16), из уравнения (14) получим систему дифференциальных уравнений
(17)Начальные условия (15) для функций zl переписываются в виде
z0(x0)= y0, z1(x0)= y1,0,…, zn-1(x0)= yп-1,0. (18)
Запишем для полученной системы метод Рунге-Кутта:
zl,i+1= zl,i + (Kl,1+ 2Kl,2+ 2Kl,3+ Kl,4), (19)
i=0, 1, …, N, l=0, 1, …, n-1.
Для вычисления коэффициентов Kl,1, Kl,2, Kl,3 и Kl,4 имеем следующие формулы:
K0,1=z1,i,
K1,1=z2,i,
…………
Kn-1,1= f(xi, z0,i, z1,i,…, zn-1,i,),
K0,2= z1,i+ K1,1,
K1,2= z2,i+ K2,1,
…………………
Kn-1,2= f(xi+ , z0,i+ K0,1, z1,i+ K1,1,…, zn-1,i+ Kn-1,1),
K0,3= z1,i+ K1,2,
K1,3= z2,i+ K2,2,
……………………
Kn-1,3= f(xi+ , z0,i+ K0,2, z1,i+ K1,2,…, zn-1,i+ Kn-1,2),
K0,4= z1,i+ hK1,3,
K1,4= z2,i+ hK2,3,
……………………
Kn-1,4= f(xi+ h, z0,i+ hK0,2, z1,i+ hK1,2,…, zn-1,i+ hKn-1,2).
Задания лабораторной работы 1
1. Написать файл-функции для решения поставленных далее задач.
2. Сохранить их в отдельных m-файлах (среда Матлаб)
3. Выполнить и оформить в виде отчета поставленные далее задачи.
Задача №1. Решить задачу Коши на отрезке [x0,X] методом Рунге-Кутта четвертого порядка, применяя деление отрезка на N частей. Оценить погрешность.
Варианты заданий в табл.1.
Табл.1.
| № варианта | Уравнение  | Начальное условие | [x0,X] | N |
| 1 | y'(x)=sin(xy2) | y(0)=1 | [0,2] | 10 |
| 2 | y'(x)=cos(x) + y2 | y(0)=2 | [0,2] | 20 |
| 3 | y'(x)= cos(xy2) | y(0)=3 | [0,2] | 30 |
| 4 | y'(x)=sin | y(0)=1 | [0,2] | 40 |
| 5 | y'(x)=tg | y(0)=2 | [0,2] | 50 |
| 6 | y'(x)=x + y2 | y(1)=3 | [1,2] | 10 |
| 7 | y'(x)= | y(1)=1 | [1,2] | 20 |
| 8 | y'(x)=cos | y(1)=2 | [1,2] | 30 |
| 9 | y'(x)=sin (x | y(1)=3 | [1,2] | 40 |
| 10 | y'(x)= | y(1)=1 | [1,2] | 50 |
| 11 | y'(x)=x ln(1+y2) | y(1)=2 | [1,3] | 10 |
| 12 | y'(x)=y cos(x+y2) | y(1)=3 | [1,3] | 20 |
| 13 | y'(x)=ex x+y2 | y(1)=1 | [1,3] | 30 |
| 14 | y'(x)=sin(x(1+y2)) | y(1)=2 | [1,3] | 40 |
| 15 | y'(x)=lg | y(1)=3 | [1,3] | 50 |
| 16 | y'(x)=x+y2 3x | y(-1)=1 | [-1,1] | 10 |
| 17 | y'(x)=|x-y|(1+x2+y2) | y(-1)=2 | [-1,1] | 20 |
| 18 | y'(x)= | y(-1)=3 | [-1,1] | 30 |
| 19 | y'(x)=x+ | y(-1)=1 | [-1,1] | 40 |
| 20 | y'(x)=  | y(-1)=2 | [-1,1] | 50 |
| 21 | y'(x)= | y(0)=3 | [0,π] | 10 |
| 22 | y'(x)=sin(x) ln(1+y2) | y(0)=1 | [0,π] | 20 |
| 23 | y'(x)=sin(y) cos(x+y2) | y(0)=2 | [0,π] | 30 |
| 24 | y'(x)=ex sin(y)+x2 ey | y(0)=3 | [0,π] | 40 |
| 25 | y'(x)= cos(x) (x+y2) | y(0)=1 | [0,π] | 50 |
| 26 | y'(x)= | y(π/2)=2 | [π/2,π] | 10 |
| 27 | y'(x)=x 2y+y 2x | y(π/2)=1 | [π/2,π] | 20 |
| 28 | y'(x)= |x - y| cos(x2 + y2) | y(π/2)=3 | [π/2,π] | 30 |
| 29 | y'(x)= | y(π/2)=2 | [π/2,π] | 40 |
| 30 | y'(x)=(y + x | y(π/2)=3 | [π/2,π] | 50 |
) 
Задача №2. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения сведением к задачи Коши для системы уравнений первого порядка.