Исследование функций и построение их графиков (стр. 4 из 10)
Если
(или 
), то правило Лопиталя можно использовать вторично, т.е. 
В общем случае правило Лопиталя можно применять неоднократно.
Пример 5. Найти
Решение. Для раскрытия неопределенности применим правило Лопиталя.
Неопределенность вида
по-прежнему сохраняется. Применим правило Лопиталя еще раз: 
Вопросы для самопроверки
Дайте определение производной функции в точке.
Какая функция называется дифференцируемой в точке?
Назовите важнейшие правила дифференцирования.
Как находится производная сложной функции?
Сформулируйте правило Лопиталя.
Задачи для самостоятельной работы
Найти производные следующих функций:
Таблица 3.
| Номер варианта | А) | Б) | В) |
| 1 | y=(3x4-4x(-1/4)+2)5 | y=arccos2x+(1-4x2)1/2 | y=2tgx+x sin(2x |
| 2 | y=(5x2+4x(5/4)+3)3 | y=arctg(x2-1)1/2 | y=e3x-2x tg(3x) |
| 3 | y=(0.25x8+8x(3/8)-1)3 | y=arccos(1-x2)1/2 | y=3cosx-x sin(2x) |
| 4 | y=(0.2x5-3x(4/3)-4)4 | y=arctg(x-1)1/2 |  |
| 5 | y=(3x8+5x(2/5)-3)5 | y=arctg(2/(x-3)) |  |
| 6 | y=(5x4-2x(-3/2)+3)4 | y=arccos(1-x)1/2 |  |
| 7 | y=(4x3+3x(-4/3)-2)5 | y=arcctg(x-1)1/2 |  |
| 8 | y=(7x5-3x(5/3)-6)4 | y=arcsin3x-(1-9x2)1/2 | y=etgx-x1/2 cos(2x). |
| 9 | y=(3x4-4x(-1/4)-3)5 | y=arctg(1/(x-1)) | y=x tg3x+2x-2 |
| 10 | y=(8x3-9x(-7/3)+6)5 | y=arcsin((1-x)1/2) |  |
Тема 3. Применение дифференциала функции в приближенных вычислениях
Дифференциалом функции
в точке 
называется главная, линейная относительно приращения аргумента 
часть приращения функции 
, равная произведению производной функции в точке на приращение независимой переменной: 
.Отсюда приращение функции
отличается от ее дифференциала 
на бесконечно малую величину и при достаточно малых значениях можно считать 
или 
.Приведенная формула используется в приближенных вычислениях.
Пример. Вычислить приближенно
Решение. Рассмотрим функцию
. Это степенная функция и ее производная найдется: 
В качестве
требуется взять число, удовлетворяющее условиям:- значение
известно или достаточно просто вычисляется;- число
должно быть близким к числу 33,2, т.е. приращение 
должно быть как можно меньше.В нашем случае этим требованиям удовлетворяет число
= 32, для которого 
= 2, = 33,2 -32 = 1,2.Применяя формулу, находим искомое число:
+ 
.Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение дифференциала функции в точке.
2. Почему формула, используемая для вычислений, является приближенной?
3. Каким условиям должно удовлетворять число
, входящее в приведенную формулу?Задачи для самостоятельной работы
Вычислить приближённое значение
, заменив в точке 
приращение функции 
ее дифференциалом.Таблица 4.
| Номер варианта |  |  |  |
| 1 | 3 | 502 | 512 |
| 2 | 4 | 267 | 256 |
| 3 | 5 | 234 | 243 |
| 4 | 6 | 685 | 729 |
| 5 | 7 | 142 | 128 |
| 6 | 3 | 349 | 343 |
| 7 | 4 | 605 | 625 |
| 8 | 5 | 255 | 243 |
| 9 | 6 | 773 | 729 |
| 10 | 7 | 156 | 128 |
Тема 4. Исследование функций и построение их графиков
Если функция одной переменной задана в виде формулы
, то областью ее определения называют такое множество значений аргумента 
, на котором определены значения функции.Пример 1. Значение функции
определены только для неотрицательных значений переменной : 
. Отсюда область определения функции будет полуинтервал [4; 
).Пример 2. Функция
не определена при таких значениях аргумента
, когда либо знаменатель равен нулю ( 
), либо подкоренное выражение отрицательно ( <3). Тогда областью определения служит множество, являющееся объединением интервалов (3;4) 
(4;5) (5; ).Пример 3. Функция
определена только на отрезке [-1;1], так как значение тригонометрической функции 
удовлетворяют неравенству: -1 
1.Функция
называется четной, если для любых значений из области ее определения выполняется равенство 
,и нечетной, если справедливо другое соотношение:
. В других случаях функцию называют функцией общего вида.Пример 4. Пусть
. Проверим: 
.Таким образом, эта функция является четной.
Для функции
верно: 
. Отсюда эта функция нечетная.