Исследование функций и построение их графиков (стр. 6 из 10)

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции

положительна (отрицательна) внутри множества , то функция вогнута (выпукла) на .

Точкой перегиба графика непрерывной функции

называется точка, разделяющие интервалы, в которых функция выпукла и вогнута.

Вторая производная

дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю, то есть = 0.

Если вторая производная при переходе через некоторую точку

меняет свой знак, то является точка перегиба ее графика.

При исследовании функции и построении ее графика рекомендуется использовать следующую схему:

Найти область определения функции.

Исследовать функции на четность – нечетность (если функция четная или нечетная, то график достаточно исследовать только для положительных значений

, а для <0 график симметричен относительно оси в случае четности функции и симметричен относительно начала координат – для нечетной функции).

Найти вертикальные асимптоты.

Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты.

Найти интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.

Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба.

Найти точки пересечения функции с осями координат.

Пример 6. Исследовать функцию

и построить ее график.

Решение. 1.Функция представляет многочлен 3-й степени, поэтому она определена и непрерывна для всех

.

2. Найдем значение функции при (-

):

а также

.

Таким образом, исследуемая функция является функцией общего вида и ее требуется исследовать на всей числовой оси.

Функция непрерывна на всей числовой оси, точек разрыва второго рода не имеет, следовательно, у нее вертикальные асимптоты отсутствуют.

Рассмотрим поведение функции в бесконечности.

Найдем пределы:

;

Так как пределы не являются конечными, то горизонтальных асимптот у функции нет.

Далее проверим наличие у функции наклонных асимптот. Вычислим предел:

.

Поскольку предел не является конечными, то наклонные асимптоты также отсутствуют. Если бы предел являлся конечным и равнялся k, то требовалось найти другой предел

.

В случае когда он также конечен (равен числу b), устанавливается наличие наклонной асимптоты с уравнением

.

Для определения интервалов монотонности функции найдем ее производную:

.

Производная также определена и непрерывна на всей числовой оси. Отсюда критическими точками могут быть только те, где производная равна нулю.

Для нахождения стационарных точек функции приравниваем производную нулю:

и решаем квадратное уравнение:

= = 4,

,

Теперь можно записать:

=0.

В итоге функция имеет две стационарные точки

.

Используя метод интервалов, найдем интервалы знакопостоянства производной функции.

+ +

1 _ 5/3

При

<1 и >5/3 производная >0, т.е. интервалы и являются интервалами возрастания функции.

При 1<

<5/3 имеем <0 и интервалом убывания является .

Поскольку при

<1 знак >0, а при >1 <0, то стационарная точка = 1 является точкой максимума функции.

В другой стационарной точке

= имеем <0 слева от нее и >0 справа. Следовательно, в точке = функция имеет локальный минимум.

Для нахождения интервалов выпуклости вычислим вторую производную функции:

.

Вторая производная также определена на всей числовой оси и точки, где она не существует, отсутствуют.

Приравнивая вторую производную к нулю:

= 0,

находим точку

3 = , которая может быть точкой перегиба.

Если

<4/3, то <0 и на интервале функция вогнута. При >4/3 >0 и интервал является интервалом выпуклости функции.

В итоге, поскольку при переходе точки

производная меняет знак, то является точкой перегиба функции.

Определим точки пересечения функции с координатными осями. Полагая аргумент

=0, находим точку пересечения графика функции с осью ординат : .

Записывая уравнение

,

найдем точки пересечения графика с осью абсцисс. Методом перебора из делителей свободного члена (равного 4) определяем, что

=2 является корнем этого уравнения. Разделим многочлен левой части уравнения на линейный бином ( ):