Уменьшение оценки взаимной спектральной плотности стационарного случайного процесса (стр. 3 из 4)

Замечание 1. Если

, является стационарным в узком смысле СП и то , является стационарным в широком смысле, но не наоборот.

Спектральной плотностью стационарного случайного процесса

, называется функция вида

,

при условии, что

Семиинвариантной спектральной плотностью

- го порядка,

, стационарного СП , называется функция вида

при условии, что

Для смешанного семиинварианта

-го порядка, , стационарного СП справедливо следующее соотношение

.

Для

эти соотношения примут вид

.

2. УМЕНЬШЕНИЕ СМЕЩЕНИЯ ОЦЕНКИ ВЗАИМНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ

Рассмотрим действительный стационарный в широком смысле случайный процесс

, , с математическим ожиданием , , взаимной ковариационной функцией , и взаимной спектральной плотностью .

Предположим, имеются Т последовательных, полученных через равные промежутки времени наблюдений

за составляющей , рассматриваемого процесса . Как оценку взаимной спектральной плотности в точке рассмотрим статистику

(2.1)

где

, - произвольная, не зависящая от наблюдений четная целочисленная функция, для , а

(2.2)

s – целое число,

- целая часть числа .

Статистика

, называемая выборочной взаимной спектральной плотностью или периодограммой, задается соотношением

(2.3)

определено равенством (2.2).

Предположим, если оценка

взаимной спектральной плотности , построенная по T наблюдениям, является асимптотически несмещенной, то математическое ожидание ее можно представить в виде

(2.4)

где

некоторые действительные функции, не зависящие от T,

В качестве оценки взаимной спектральной плотности возьмем статистику

,

и исследуем первый момент построенной оценки.

Математическое ожидание построенной оценки будет следующее

Использовав соотношение (2.4), получим

где

Поскольку

следовательно, оценка

является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим как .

Так как равенство (2.4) справедливо и при

, то, рассматривая оценку

где

, то оценка является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим на . Далее рассмотрим оценку

(2.5)

Найдем математическое ожидание построенной оценки :

где

Следовательно, оценка

является асимптотически несмещенной со смещением, убывающим как .

Найдем явный вид коэффициентов

в представлении (2.4),

Видим, что

Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.1. Оценка

взаимной спектральной плотности стационарного в широком смысле случайного процесса , задаваемая равенством (2.5), удовлетворяет соотношению