Случайные вектора (стр. 4 из 13)

, (54.4)

где

и

. При этом

выражается через индивидуальные характеристики

и

, т.е. каких-либо групповых эффектов в

не проявляется, что является следствием независимости случайных величин

и

. Из цепочки преобразований (54.4) следует равенство

- математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

54.2. Аналогично (54.2) числа

(54.5)

называются центральными смешанными моментами, порядка

. Наиболее важной групповой характеристикой двух случайных величин среди чисел (54.5) является ковариация

, (54.6)

которая является центральным смешанным моментом порядка

. Для ковариации используется также обозначение:

. Если

, то

- совпадает с дисперсией случайной величины

.

Если

и

- независимы, то из (54.6) следует, что ковариация

.

Обратное утверждение в общем случае неверно, т.е. из равенства

в общем не следует независимость случайных величин

и

. В частности, обратное утверждение справедливо, если

и

- гауссовы случайные величины. Более подробно этот вопрос обсуждается ниже.

54.3. Найдем связь между корреляцией

и ковариацией

случайных величин

и

. Из определения ковариации (54.6) следует

.

Таким образом, ковариация

и корреляция

связаны соотношением

. (54.7)

Верхняя и нижняя границы корреляции и ковариации

55.1. Пусть случайные величины

и

имеют математические ожидания

,

, дисперсии

,

, корреляцию

и ковариацию

. Рассмотрим неравенство

. (55.1)

Возведем в квадрат, затем оператором математического ожидания подействуем на каждое слагаемое, тогда (55.1) принимает вид:

,

что далее сводится к неравенству

. (55.2)

Его левая часть

может быть как положительной так и отрицательной, правая часть - только положительна. Поэтому неравенство (55.2) обычно записывается в более сильном варианте:

. (55.3)

Таким образом, корреляция

случайных величин

и

принимает значения из интервала

.

Соотношение, аналогичное (55.3) можно получить и для ковариации

, если в исходном выражении (55.1) вместо

подставить центрированную случайную величину

и вместо

соответственно

. При этом необязательно выполнять все преобразования, аналогичные (55.1) - (55.3), достаточно учесть, что замена

и

приводит к замене

на

,

на

, а также

на

. Поэтому из (55.3) следует

. (55.4)

55.2. Неравенства, определяющие область значений корреляции

и ковариации

, аналогичные (55.3), (55.4), можно получить в другом виде на основе следующего очевидного неравенства:

. (55.5)

Отсюда

, поэтому справедливо неравенство

. (55.6)

Если в (55.5)

заменить соответственно на

и

, то в (55.6)

заменяется на

,

на

и

на

. Поэтому (55.6) принимает вид:

. (55.7)

Ковариация и независимость двух случайных величин

Для независимых случайных величин

и

ковариация

. В отличие от этого рассмотрим другой крайний случай, когда случайные величины

и

связаны функциональной зависимостью: