Случайные вектора (стр. 8 из 13)

, (60.6)

как вероятность достоверного события.

5. Функция распределения

- непрерывна справа по каждому своему аргументу.

Плотность вероятности случайного вектора

Пусть случайный вектор

имеет функцию распределения вероятностей

и существует частная производная

, (61.1)

тогда функция

называется плотностью распределения вероятностей случайного вектора

или

- мерной плотностью вероятности. При этом функция

и сам вектор

называются непрерывными.

Рассмотрим основные свойства плотности вероятности случайного вектора.

1. Пусть

- независимые случайные величины, тогда функция распределения вероятностей вектора

представима в виде произведения одномерных функций, формула (60.3). Подставляя (60.3) в (61.1), получим

, (61.2)

где

(61.3)

- плотность вероятности случайной величины

.

2. Пусть

- малое приращение аргумента

. Тогда из (61.1) следует

, (61.4)

где

- разность порядка

функции

, определяемая соотношением:

,

,…

Из определения функции

, формула (60.1), следует

, (61.5)

затем из (61.4), (61.5) получаем вероятность попадания случайного вектора

в

-мерный параллелепипед со сторонами

:

. (61.6)

Из (61.6) следует

. (61.7)

4. Аналогично из (61.6)

. (61.8)

5. Условие нормировки для плотности вероятности

также следует из соотношения (61.6):

. (61.9)

6. Пусть

- область

- мерного пространства, тогда

- вероятность того, что

- мерный случайный вектор принимает значение из области

, определяется через плотность

:

. (61.10)

Доказательство этого соотношения следует из (61.6) с учетом того, что любая область

может быть покрыта

- мерными параллелепипедами при условии, что

- наибольшая сторона параллелепипеда стремится к нулю.

7. Для любого

. (61.11)

Это равенство называется свойством согласованности плотности: из плотности вероятности порядка

путем интегрирования по «лишнему» аргументу

может быть получена плотность вероятности порядка

. Для доказательства представим обе части равенства (60.5) через плотности, используя (61.8), тогда (60.5) принимает вид:

. (61.12)

Продифференцируем обе части этого равенства по аргументам

, что приводит к выражению (61.11).

Многомерное нормальное распределение

Случайный вектор

называется нормально распределенным, если его плотность вероятности

, (62.1)

где

;

- ковариационная матрица вектора

, элемент которой

является ковариацией случайных величин

;

- определитель матрицы

;

- матрица, обратная ковариационной.

Рассмотрим плотность вероятности

в частном случае попарно некоррелированных случайных величин

, для которых выполняется условие

, (62.2)

где

- символ Кронекера. Таким образом, ковариационная матрица

является диагональной, поскольку ее элементы (62.2) на главной диагонали – ненулевые, а вне главной диагонали - нулевые. Следовательно, определитель

. (62.3)

Элемент

матрицы

, обратной ковариационной можно найти по известной формуле:

, (62.4)

где

- алгебраическое дополнение элемента

матрицы

. Из (62.3) следует

, (62.5)

а также

при

. Подстановка этих результатов в (62.4) приводит к выражению