Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової (стр. 3 из 13)

4) графік функції

, де — паралельне перенесення графіка на а одиниць масштабу вздовж осі ;

5) графік функції

— стиснення в разів , або розтягнення в разів графіка вздовж осі ;

6) графік функції

— розтягнення в разів , або стиснення в разів , графіка вздовж осі ;

7) графік функції

— дзеркальне відображення від осі від’ємної частини (під віссю ) графіка функції , додатна частина графіка залишається на місці.

8) графік функції

— дзеркальне відображення від осі правої частини (з додатної півплощини) графіка в ліву півплощину, додатна частина графіка залишається на місці.

Аналогічно визначаються нескінченно малі й нескінченно великі величини при

.

Нескінченно великі величини знаходяться в тісному зв’язку з нескінченно малими: якщо при даному граничному переході функція

є нескінченно великою, то функція при цьому самому граничному переході буде нескінченно малою й навпаки.

Властивості нескінченно малих

1. Функцію

можна подати у вигляді , де – стале число; — нескінченно мала при , тоді і тільки тоді, коли .

2. Якщо

, то .

3. Алгебраїчна сума довільного скінченого числа нескінченно малих функцій є функція нескінченно мала (у самому граничному переході).

4. Добуток нескінченно малої на обмежену функцію є величина нескінченно мала.

5. Добуток скінченого числа нескінченно малих є величина нескінченно мала.

6. Добуток нескінченно малої на постійну є величина нескінченно мала.

7. Частка

від ділення нескінченно малої при на функцію, границя якої відмінна від нуля, тобто , є величина нескінченно мала.

При обчисленні границь необхідно знати такі теореми:

1.

2.

3. Якщо

і існують, то

4. Для всіх основних елементарних функцій у довільній точці їх визначення справедлива рівність

5. Якщо

то

якщо

то

6. Якщо

то

7. Якщо

то

8. Якщо

при , то

9. Якщо

при , то

10. Якщо змінна величина

зростаюча при і обмежена при , то вона має границю .

Порівняння двох нескінченно малих функцій одного й того самого аргументу х при

характеризується наступними означеннями й теоремами.

Нескінченно малі функції

і називаються нескінченно малими одного порядку при , якщо дорівнює кінцевому числу .

Якщо

, то називається нескінченно малою більш високого порядку в порівнянні з .

Якщо

, то і називаються еквівалентними нескінченно малими, й пишуть .

Якщо

то називається нескін-ченно малою порядку Р у порівнянні з нескінченно малою .

Теореми про еквівалентні нескінчено малі

1. Границя відношення двох нескінченно малих функцій не зміниться, якщо ці нескінченно малі замінити величинами, їм екві-валентними.

2. Щоб дві нескінченно малі функції були еквівалентними, необхідно й достатньо, щоб їх різниця була нескінченно малою більш високого порядку в порівнянні з кожною з них.