Шпора по матану (стр. 3 из 4)
каждой точке интервала (a,b), то она называется дифференцируемой на этом интервале.
33.Геометрический смысл производной
 |
а) Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y=f(x), дифференцируемой в
точке x0 (рис. 13). Проведем через точки M0(x0,y0) и M(x0+▲x, y0+▲y) графика прямую l, и пусть
B(угол Бэтта) - угол ее наклона к оси х. Тогда (1)▲y/(деленный)▲x=tg B(бэтта)
Рис. 13.
Если ▲x стремится к нулю, то ▲y также стремится к нулю, и точка M приближается к точке M0, а
прямая l - к касательной l0(эль нулевая), образующей с осью x угол α(альфа). При этом
равенство (1) принимает вид: (2) f ’(x0)=tgα’ откуда следует, что производная функции в точке
равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.
34.Понятие дифференцируемости ф-ии
Df : Ф-ия
дифференцируема в точке х0 , если приращение ф-ии в точке сможет быть представлено в виде: 
, А – const.Dh: Для дифференцирования ф-ии в т. х0 , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная.
Доказательство: (необходимость)
(достаточность):
35.Непрерывность и диф.
36.Понятие дифференциала ф-ии. Геом.смысл приблеженных вычислений с помощью dy
Опр. Дифференциалом ф-ии y=f(x) в точке х0 н-ся главная, линейная от-но ▲х, часть приращенная ф-ии в этой точке. Для обозначения дифференциала ф-ии используют символ dy.
Из Df дифференцируемости следует, что приращение дифф. ф-ии
можно представить в виде 
Из равенства нулю предела следует, что
- б.м. более высшего порядка малости, чем 
, и 
Поскольку
- б.м. одного порядка малости. 
- б.м. одного порядка малости 
- б.м. эквивылентные, т.е. 
Пусть
**************
Zm1:
и х – независимые переменные, т.е. 
Zm1:
для независимых переменных. 
37.Правила диференц суммы,разн,произв,частн
1)
;2)
, где 
- постоянная;3)
;4)
;5) если
, а 
, то производная сложной функции 
находится по формуле 
,где индексы указывают, по какому аргументу производится дифференцирование.
38.Вычислен производных элемент.ф-ий: x^n,nЄN,cos,sin,tg ,ctg, loga(основание)Х(а>0,a≠1,x>0)
39.Th о произв сложной ф-ии
Пусть:
1.
- дифф. в точке y0 .2.
- дифф. в точке х0 .3.
тогда сложная ф-ия
- дифф. в точке х0 и справедлива формула: 
Доказательство:
1.
- дифф. в точке y0 
2.
- дифф. в точке х0 
3.
- дифф. в точке х0 а значит непрерывна в этой точке 
. 
40.Производная ф-ий x^α, αЄR(прием логарифм. Диф)
41.Th о производной обратной ф-ии
Предложение: Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в точке y0, то g’(y0)=1/f’(x0), где y0=f(x0)
Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1
g’(f(x0))=g’(f(x0))*f’(x0)=1, g’(f(x0))=g(y0)=1/f’(x0)
Теорема: Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает (a,b) в (а,b) тогда $ обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно отображает (а,b) в (a,b). Если f диф-ма в точке x0Î(a,b) и f’(x0)¹0, то g диф-ма в точке y0=f(x0) и g’(y0)=1/f’(x0)
Доказательство:
Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y0: yN®y0, yN¹y0 => $ посл-ть xN: xN=g(yN), f(xN)=yN
g(yN)-g(y0)/yN-yO = xN-xO/f(yN)-f(yO) = 1/f(yN)-f(yO)/xN-xO ® 1/f’(xo) при n®¥, получили при xN®xO g(yN)-g(yO)/yN-yO®1/f’(xO) => g’(уO)=1/f’(xO)
42.Произв ф-ии: arcsinx,arccosx,arctgx,acctgx,a^x(a>0,a≠1)
1) x®Arcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии, что Sin’y<0, получаем (используя производную синуса): Arcsin’x=1/Cos y, т.к. Arcsin: [-1,1]®[-П/2,П/2] и Cos:[-П/2,П/2]®[0,1], то Cos y³0 и, значит Arcsin’x = 1/Cos y = 1/(1-Sin2y)1/2 = 1/(1-x2)1/2
2) x®Arccos’x = -1/(1-x2)1/2
3) x®Arctg’x = 1/1+x2
4) x®Arcctg’x= -1/1+x2
5) y=a^x(в степени х) y ‘ =a^xlna Док-во:y=a^x является обратной для ф-ии x=loga(a-основание)y. Т.к. x’(y)=(1/y)loga(a-осн)e, то из соотношения loga(a-OCH)b=1/logb(b-OCH)a получим y’(x)=1/x’(y)=y/loga(a-OCH)e=a^x(в степени х)lna
43.Производная высших порядков
Определение: Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки xO, то ф-ция f’(x):x®f’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке xO или даже в некоторой ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется второй производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке xO и обознача ется f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и так далее. Для единообразия обозначаем через fN(xO) - производную порядка n функции f в точке xO и при n=0 считаем f0(xO)=f(xO).
Замечание: Cуществование производной порядка n требует того чтобы существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки xO (следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция x®fN-1(x) непрерывна в точке xO, а при n³2 все производные порядка не выше (n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки xO.
Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то cуществует производная у’(t)=у’(х)*х’(t).
Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то существует производная у’(t)=у’(х)*х’(t)
+нужно док-во
44.Диференциалы высших порядков
dy= f‘(x)dx – диф. первого порядка ф-ции f(x) и обозначается d^2y, т.е. d^2y=f‘‘(x)(dx)^2. Диф. d(d^(n-1)y) от диф. d^(n-1)y наз-ся диф. n-ного порядка ф-ции f(x) и обознач. d^ny.
Опр-ие: Дифференциалом n-го порядка функции у=f(х) называется дифференциал первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается dny)По определению dny= d(dn-1y). Иногда dy называют диф. Первого порядка. В общем случае, dny=f(n)(х)dxn, в предположении, что n-ая производная f(n)(х) сущ-ет.