Квадратичные формы 2 (стр. 3 из 6)
(2)Матрицу этого преобразования обозначим Q:
Преобразование (2) невырождено, так как DetQ = a11 ≠ 0. Отметим также, что невырожденность преобразования (2) вытекает из его обратимости, которая в свою очередь сразу видна из формул (2).
Возведем в квадрат выражение y1и разделим на a11 ≠0:
где
— некоторая квадратичная форма аргументов х2,...,хп, т. е. не включает x1. Введем еще одну квадратичную форму 
тех же аргументов х2,..., хп, положив 
где g{x2,..., хп) дана записью f(x) в виде (1). Тогда получим
или, что то же самое,
По предположению индукции существует такое невырожденное преобразование переменных в числе п—1
(3)которое приводит к каноническому виду форму
: 
Дополним преобразование (3) так, чтобы в нем участвовали все п переменных. Именно, положим
(4)Преобразуем переменные x1..., xnв переменные у1,... ...,уппо формулам (2), а затем переменные y1,…,уппреобразуем по формулам (4). В результате получим преобразование переменных х1..., хпв переменные z1,...,znкоторое приводит исходную квадратичную форму к каноническому виду
Последнее преобразование является невырожденным, так как представляет собой произведение невырожденных преобразований (2) и (4).
Второй случай. В квадратичной форме f(x) все, диагональные коэффициенты аiiравны нулю. Тогда предыдущие рассуждения неприменимы. Но какой-нибудь из коэффициентов отличен от нуля; пусть это будет а12. Тогда квадратичная форма имеет вид
(5)Сделаем преобразование:
(6)Преобразование (6) обратимо и, следовательно, является невырожденным.
Подставив величины (6) в квадратичную форму (5), получим
(7)
Слагаемое
не может исчезнуть при приведении подобных членов, так как все члены квадратичной формы, которые не выписаны в выражении (5), не содержат произведения 
и не могут в результате преобразования (6) дать величину 
Далее квадратичную форму (7) можно невырожденным преобразованием привести к каноническому виду, поскольку дело свелось к первому случаю: коэффициент при
отличен от нуля.Тем самым рассуждения индукции завершены и теорема доказана.
3 а м е ч а н и е. Из доказательства видно, что квадратичную форму с действительными коэффициентами можно привести к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования, которое также имеет действительные коэффициенты.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби.
Пусть дана квадратичная форма f(x), которая расписана в координатах в некотором базисе е1,…, еп:
Как известно,
Составим матрицу квадратичной формы f(x):
Рассмотрим так называемые главные миноры матрицы А:
(1)Кроме того, для удобства записи дальнейших формул введем величину
считая =1.Метод Якоби проходит в предположении, что все главные миноры матрицы А отличны от нуля:
… 
(2)При этих предположениях ищется специальный новый базис такой, чтобы
(3)Для того чтобы привести квадратичную форму f(x) к каноническому виду, достаточно для любого
обеспечить условия 
при 
(4)Тогда
тоже будут равны нулю (вследствие симметричности матрицы квадратичной формы), и отличными от нуля окажутся лишь коэффициенты при квадратах числовых аргументов.Заметим, что для выполнения условий (4) достаточно потребовать соблюдения равенств
(5)В самом деле, из (5) и (3) имеем
Для упрощения дальнейших выводов добавим к (5) дополнительное равенство
(6)При k = 1 условия (5) исчезают и остается только (6), из которого, с учетом первой строчки формул (3), находим
Отсюда
поскольку
.Учитывая обозначения (1), можно написать
Дальше будем проводить рассуждение по индукции. Допустим, что уже определены все коэффициенты, входящие в первые k—1 строк формул (3). Для нахождения коэффициентов, входящих в строку с номером k, запишем условия (5), и (6) вместе
(7)Отсюда, используя (3), получим для искомых коэффициентов систему уравнений
(7а)Определитель системы (7а) совпадает с
и отличен от нуля вследствие предположения (2). Поэтому искомые коэффициенты Рk1, ..., Рkkнайдутся. Остается проверить, что построенное преобразование невырождено. С этой целью найдем из системы (7а) коэффициент Pkk. Применяя правило Крамера, получим 
(8)Далее, используя треугольную структуру матрицы преобразования (3), найдем определитель Dэтой матрицы:
.Таким образом, 
, а значит, преобразование (3) невырождено.
Теперь мы можем определить и коэффициенты квадратичной формы в новом базисе
Достаточно вычислить лишь диагональные коэффициенты, так как остальные заведомо равны нулю. Используя (3), (7) и (8), находим