Квадратичные формы 2 (стр. 5 из 6)

Обозначим через

угол от орта e₁ до орта е₁^’. Повернув репер

(в его плоскости) в положительном направлении на угол , мы совместим орт e₁ с ортом е₁^’; тогда орт e₂, будучи перпендикулярен к орту e₁, либо совместится с ортом (рис. 59), либо

совместится с противоположным ему ортом —

(рис. 60). Утверждение доказано.

Из доказанного следует, что относительно базиса e₁ , e₂ орт

имеет координаты cos , sin :

тогда как для

имеем две возможности:

либо

т.е

либо

и тогда

Матрица перехода от базиса

к базису имеет вид:

в первом случае

(I)

во втором

(II)

Базисы

и называются в первом случае одноименными или одинаково ориентированными, а во втором — разноименными или противоположно ориентированными.

Так как detC= l в случае одноименных, detC= -1 в случае разноименных базисов, то только что высказанное определение можно сформулировать и так:

Определение. Два ортогональных базиса (репера) одно-именны, если матрица перехода от одного из них к другому имеет положительный детерминант, и разноименны, если этот детерминант отрицателен.

Формулы преобразования координат даются матрицами, транспонированными к матрицам перехода от одного базиса к другому; это будут формулы:

в случае однименных базисов,

в случае разноименных базисов.

1.7 Закон инерции квадратичных форм

Пусть в действительном пространстве дана квадратичная форма:

где {x_i}— координаты вектора х в некотором базисе

Пусть

— какой-нибудь базис, в котором f(x) имеет нормальный вид: (1) Здесь {у₁} — координаты вектора х в базисе .

Число положительных и число отрицательных членов в данной формуле называется соответственно положительным и отрицательным индексом формы; разность между положительным и отрицательным индексом называется ее сигнатурой.

Закон инерции квадратичных форм. Положительный и отрицательный индексы являются инвариантами квадратичной формы, то есть не зависят от выбора базиса, в котором она имеет нормальный вид.

Доказательство. Пусть имеется еще один базис

котором форма имеет нормальный вид:

(2)

где {z_i} — координаты х в базисе

. Нужно доказать, что k = m.

Предположим, что

например k>m. Рассмотрим формулы преобразования координат

(3)

Заметим, что матрица Qкоэффициентов

невырождена.

Подставим выражения (3) в формулу (2). Мы должны получить выражение (1); таким образом, имеем тождество

(4)

т. е. равенство, верное при любых у₁, ...,у_r, у_r+1…,y_n, считая, что z₁,..., z_nвыражены через у₁, ..., у_пс помощью (3).

Составим вспомогательную однородную систему уравнений

(5)

В системе (5) число неизвестных больше числа уравнений вследствие предположения k>m. Поэтому система (5) имеет нетривиальное решение y₁,…,y_k. Подставим это решение в тождество (4), взяв дополнительно

(6)

В результате, учитывая (3), (5) и (6), получим

(7)

Однако это невозможно, так как левая часть (7) строго положительна, тогда как правая либо отрицательна, либо равна нулю. Значит, kне может быть больше т. Теорема доказана.

1.8 Положительно-определённая квадратичная форма

Определение 1. Форма f(x) называется положительно определенной, если f(x) > 0 для всех

.

Заметим, что

всегда. В самом деле, так как =0*zи f(x) = а (х, х), где z— произвольный вектор, а (х, у) — билинейная функция, то

Квадратичная форма f(x) называется отрицательно определенной, если f(x)<0 для любого

.

Очевидно, что достаточно рассмотреть положительно определенные формы, поскольку отрицательно определенные получаются из них сменой знака.

Ограничиваясь квадратичными формами в конечномерных (n-мерных) пространствах, укажем прежде всего ряд простых необходимых признаков положительной определенности. Пусть в каком-нибудь базисе е₁ .,., е_пдана квадратичная форма

Как нам известно,

1) Если f(x) является положительно определенной, то

при всех i=1,2, ..., п.

2) Если форма f(x) положительно определена, то определитель ее матрицы положителен:

Для доказательства приведем f(x) к каноническому виду. Пусть

— канонический базис, то есть базис, в котором f(x) имеет канонический вид:

Согласно предыдущему признаку все

Обозначим через

определитель матрицы формы f(x) в каноническом базисе. Имеем

С другой стороны

значит,

Замечание. И это условие не является достаточным для положительной определенности квадратичной формы. Пример: форма