Дослідження проблеми тригонометричних рівнянь (стр. 3 из 12)

3. Якщо

послідовних членів нескінченної прогресії

наприклад

, ...,

зробити центральними членами

прогресій з однаковою різницею, рівної

те прогресія й ряд прогресій виражають собою ті самі числа.

Приклад Ряд

може бути замінений наступними трьома рядами

4. Якщо

нескінченних прогресій з однаковою різницею

мають центральними членами числа, що утворять арифметичну прогресію з різницею

, то ці

рядів можуть бути замінені одною прогресією з різницею

, і із центральним членом, рівним кожному із центральних членів даних прогресій, тобто якщо

те ці

прогресій поєднуються в одну

Приклад

обидві поєднуються в одну групу

, тому що

Для перетворення груп, що мають загальні рішення, у групи, загальних рішень не дані групи, що мають, розкладають на групи із загальним періодом, а потім об'єднати групи, що вийшли, виключивши повторювані.

Розкладання на множники

Метод розкладання полягає в наступному: якщо

те всяке рішення рівняння

є рішення сукупності рівнянь

Зворотне твердження, загалом кажучи невірно: не всяке рішення сукупності є рішенням рівняння. Це пояснюється тим, що рішення окремих рівнянь можуть не входити в область визначення функції

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Використовуючи основну тригонометричну тотожність, рівняння представимо у вигляді

Відповідь.

;

Перетворення суми тригонометричних функцій у добуток

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Застосуємо формулу , одержимо рівносильне рівняння

Відповідь.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. У цьому випадку, перш ніж застосовувати формули суми тригонометричних функцій, варто використовувати формулу приведення

У підсумку одержимо рівносильне рівняння

Відповідь.

Рішення рівнянь добутку тригонометричних функцій у суму

При рішенні ряду рівнянь застосовуються формули.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Застосувавши формулу , одержимо рівносильне рівняння:

Відповідь.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Застосувавши формулу , одержимо рівносильне рівняння:

Відповідь.

Рішення рівнянь із застосуванням формул зниження ступеня

При рішенні широкого кола тригонометричних рівнянь ключову роль грають формули.

Приклад Вирішити рівнянн

Рішення. Застосовуючи формулу, одержимо рівносильне рівняння.

Відповідь.

;

Рішення рівнянь із формул потрійного аргументу

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Застосуємо формулу , одержимо рівняння

Відповідь.

;

Приклад Вирішити рівняння

Рішення

Застосуємо формули зниження ступеня одержимо

Застосовуючи одержуємо

Відповідь.

;

Рівність однойменних тригонометричних функцій

Приклад Вирішити рівняння

Рішення

Відповідь.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Перетворимо рівняння

Відповідь.

Приклад Відомо, що

задовольняють рівнянню

Знайти суму

Рішення. З рівняння треба, що