Дослідження проблеми тригонометричних рівнянь (стр. 5 из 12)

яке, підстановкою

легко зводиться до алгебраїчного:

Однорідні рівняння з показником однорідності 1. При

маємо рівняння .

Якщо

, то це рівняння рівносильне рівнянню

, , звідки ,

Приклад Вирішите рівняння

Рішення. Це рівняння однорідне першого ступеня

. Розділимо обидві його частини на одержимо:

, , ,

Відповідь.

.

Приклад При

одержимо однорідне рівняння виду

Рішення

Якщо

, тоді розділимо обидві частини рівняння на , одержимо рівняння , що підстановкою легко приводиться до квадратного: . Якщо , то рівняння має дійсні коріння , . Вихідне рівняння буде мати дві групи рішень: , , .

Якщо

, то рівняння не має рішень.

Приклад Вирішите рівняння

.

Рішення

Це рівняння однорідне другого ступеня. Розділимо обидві честі рівняння на

, одержимо

Нехай

, тоді

, , . , , ;

, ,

Відповідь.

До рівняння виду зводиться рівняння

Для цього досить скористатися тотожністю

Зокрема, рівняння

зводиться до однорідного, якщо замінити

на

тоді одержимо рівносильне рівняння

Приклад Вирішите рівняння

Рішення. Перетворимо рівняння до однорідного

Розділимо обидві частини рівняння на

, одержимо рівняння:

Нехай

, тоді приходимо до квадратного рівняння

, , , , .

Відповідь.

.

Приклад Вирішите рівняння

Рішення

Зведемо обидві частини рівняння у квадрат, з огляду на, що вони мають позитивні значення:

,

Нехай

, тоді одержимо

, ,

Відповідь.

Рівняння, розв'язувані за допомогою тотожностей

Корисно знати наступні формули

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Використовуючи , одержуємо

Відповідь.

Пропонуємо не самі формули, а спосіб їхнього висновку:

отже,

Аналогічно,

.

Приклад Вирішити рівняння

.

Рішення. Перетворимо вираження

:

.

Рівняння запишеться у вигляді

Приймаючи

, одержуємо

. , . Отже