Задачи Пятого Турнира Юных Математиков (стр. 2 из 3)

Т.к. ищем решения в целых числах, из этого равенства видно, что k – число нечетное.

Подставим значения в преобразованное уравнение.

Введем замену: х₁ = -х. Тогда полученное уравнение примет вид

.

Решим данное уравнение относительно х₁ (очевидно, что

).

1. Рассмотрим случай, когда k = 1.

Отсюда, х = 1 или х = = -5, тогда y = 0 или у = -3;
Ответ: (1;0), (0;-3);

2. Рассмотрим случай, когда k = -1.

Отсюда, х = -1 или х = = -3, тогда у = 0 или у = 1;
Ответ: (-1;0), (-3;1);

3. Рассмотрим случай, когда k = 3.

Отсюда у = -14.
Ответ: (-9;-14)

4. Рассмотрим случай, когда k = -3.

- нет решений в области целых чисел.

Итак, в результате вышеописанных вычислений были найдены следующие решения: (1;0), (0;-3), (-1;0), (-3;1), (-9;-14).

Cумма производных

Условие: Пусть

.

Доказать, что для нечетных

- число четное, а для четных - число нечетное.

Решение

Рассмотрим производные P(x):

Далее замечаем, что

. Рассмотрим это число:

1. n = 2k..
4k²(2k-1) – это число четное.

2. n = 2k+1.
2k*(2k+1)² – также число четное.

Отсюда следует, что

- число четное при любых допустимых значениях n. Значит,

, как сумма четных чисел, число четное.

Введем некоторую функцию F(x).

Рассмотрим возможные случаи для х:

1. х – число четное

- число нечетное,

- число четное ÞF(x) – нечетное.

Значит,

-нечетное число, ЧТД.

2. х – число нечетное

a. n – нечетное

- число четное,

- при четном х – четное, значит сумма четна ÞF(x) – четное.

b. n – четное

- число нечетное,

- при четном х – четное, значит сумма нечетна ÞF(x) – четное.

Значит, при любом нечетном х, всегда F(x) будет четной при любом (четном/нечетном) значении nÞ

- четное ЧТД

В результате рассмотренных выше случаев, выводим, что для нечетных

- число четное, а для четных - число нечетное.

ЧТД.

Необычное уравнение

Условие: Для m натуральных через P(m), обозначается произведение всех цифр его десятичной записи, а через S(m) – их сумма. Найти количество k(n) решений уравнения

при n = 2002. Исследуйте величину k(n) решений уравнения.

Решение

Рассмотрим различные случаи числа x.

Пусть в записи х есть ноль, тогда P(x) = 0, значит

Пусть S(x)=y, S(x) = n и в записи числа есть ноль, тогда

Значит, P(S(x)) = P(y) = 0, т.к. число содержит ноль.

S(S(x))=S(y)=n. Имеется бесконечно много решений.

Т.е. для решения данного уравнения подходят числа, S(S(x)) которых равна n.

Т.к. решений бесконечно много, то имеем множество решений для любых случаев.

Идем от обратного: S(y)=n

где, a+b+c+…+f = n, т.е. от перестановки цифр сумма не меняется.

При n = 2002, S(x) = 4, P(S(x)) = 4, S(S(X)) = 4 –

.

Рассмотрев решения для данного случая, убеждаемся, что n можно подобрать относительно х или наоборот.

Задание 6 Финального Тура

Найти все функции

, для которых выполняется

Решение

Пусть х = 1.

. Заменим f(y) на а, имеем:

. (*)

Проверим полученную функцию.

y = 1, тогда

Теперь подставим в исходную функцию.

Значит, одно из возможных значений функции -

.

Математический Анализ

Условие: Рассматриваются различные непрерывно дифференцируемые функции

(это значит, что для произвольного , существует ), причем функция g непрерывна на сегменте [0;1]; под произодными функции f в конечных точках сегмента [0;1] считаются конечные производные соответственно), для которых f(0)=f(1)=0 и . Охарактеризовать множество всех точек, координатной плоскости xOy, через которые могут проходить графики всех функций.

Решение

Используем неравенство Коши-Буняковского для определенного интеграла, но, прежде, распишем определенный интеграл:

Распишем, также, формулу Ньютона-Лейбница:

.

Итак,

Значит

.

Значит,

.

Тогда,

.

, т.к. (по условию).

Рассмотрим два случая:

1.

y² = x – x² (точка лежит на контуре)

Т.е. графиком данной функции будет произвольная кривая, в которую вписан угол (угол OMK = 90⁰)

ПРОТИВОРЕЧИЕ !!!