Смекни!
smekni.com

Задачи по теории вероятности 2 (стр. 3 из 4)


6 12 х

График функции распределения F(х).

Работа №3.

Задача 3.1

По выборкам А и В

- составить вариационный ряд;

- вычислить относительные частоты (частости) и накопленные частости;

- построить графики вариационного ряда (полигон и гистограмму);

- составить эмпирическую функцию распределения и построить ее график;

- вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

среднее арифметическое

,

дисперсию

,

стандартное отклонение

,

моду Мо,

медиану Ме.

Задача 3.2.

Вычислить несмещенные оценки параметров генеральной совокупности

,S2, Sпо

выборкам А и В (используя результаты, полученные в задаче 3.1.), а также по первому столбцу выборки В.

Выборка А6

4 10 7 6 3 7 8 7 4 7 10 7 3 9 3
1 5 8 10 11 6 5 7 6 3 8 4 3 8 4
10 6 8 7 8 7 7 7 4 6 7 10 4 4 0
5 4 4 8 5 5 10 7 3 8 5 6 6 6 3
5 7 8 5 7 10 9 10 8 2 3 6 9

N = 73 Начало первого интервала: 0 Длина интервала: 1

Выборка В6

324 296 313 323 312 321 322 301 337 322 329 307
301 328 312 318 327 315 319 317 309 334 323 340
326 322 314 335 313 322 319 325 312 300 323 335
339 326 298 298 337 322 303 314 315 310 316 321
312 315 331 322 321 336 328 315 338 318 327 323
325 314 297 303 322 314 317 330 318 320 312 333
332 319 325 319 307 305 316 330 318 335 327 321
332 288 322 334 295 318 329 305 310 304 326 319
317 316 316 307 309 309 328 317 317 322 316 304
303 350 309 327 345 329 338 311 316 324 310 306
308 302 315 314 343 320 304 310 345 312 330 324
308 326 313 320 328 309 306 306 308 324 312 309
324 321 313 330 330 315 320 313 302 295 337 346
327 320 307 305 323 331 345 315 318 331 322 315
304 324 317 322 312 314 308 303 333 321 312 323
317 288 317 327 292 316 322 319 313 328 313 309
329 313 334 314 320 301 329 319 332 316 300 300
304 306 314 323 318 337 325 321 322 288 313 314
307 329 302 300 316 321 315 323 331 318 334 316
328 294 288 312 312 315 321 332 319

N = 237 Начало первого интервала: 285 Длина интервала: 7

Решение задач.

Задача 3.1.

Сначала решим задачу по выборке А. Находим: хmin= 0 и хmax = 11. Размах (11 - 0 + 1 = 12) довольно мал, поэтому составим вариационный ряд по значениям (табл. 1).

Таблица 1

xi ni ni/n Накопленные частости

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1

1

1

8

9

8

9

14

10

3

8

1

0,0137

0,0137

0,0137

0,1096

0,1233

0,1096

0,1233

0,1918

0,1370

0,0411

0,1096

0,0137

0,0137

0,0274

0,0411

0,1507

0,274

0,3836

0,5069

0,6987

0,8357

0,8768

0,9864

1,0001

å 73 1,0001 -

Все относительные частоты вычисляем с одинаковой точностью. При построении графиков изображаем на оси х значения с 0 по 11 и на оси ni/n - значения с 0 по 0,25 (рис.1 и 2).

Рис. 1. Полигон вариационного ряда выборки А

Рис. 2. Гистограмма вариационного ряда выборки А.

Эмпирическую функцию распределения F*(x) находим, используя формулу и накопленные частости, из табл. 1. Имеем:

При построении графика F*(x) откладываем значения функции в интервале от 0 до 1,2 (рис. 3).

Рис.3. График эмпирической функции распределения выборки А.

Вычисление сумм для среднего арифметического и дисперсии по формулам и по вариационному ряду (см. табл. 1) оформляем в табл. 2. По максимальной частоте определяем с = 7, а шаг таблицы k = 1.

Далее по формуле вычисляем среднее арифметическое

и дисперсию

Таблица 2

xi ni
0 1 -7 -7 49 49
1 1 -6 -6 36 36
2 1 -5 -5 25 25
3 8 -4 -32 16 128
4 9 -3 -27 9 81
5 8 -2 -16 4 32
6 9 -1 -9 1 9
7 14 0 0 0 0
8 10 1 10 1 10
9 3 2 6 4 12
10 8 3 24 9 72
11 1 4 4 16 16
73 -58 470

Стандартное отклонение

Модой Мо является значение с максимальной частотой, т.е. Мо = 7. Медианой Ме служит 37-е значение вариационного ряда: Ме = 7.

Теперь по выборке В найдем хmin = 288 и хmax= 350. Размах (350 - 288 + 1 = 63) достаточно большой, поэтому составим вариационный ряд по интервалам значений, используя при выборке заданные начало первого интервала и длину интервала (табл.3).

Таблица 3

Интервалы ni ni/n Накопленные частости

285-292

292-299

299-306

306-313

313-320

320-327

327-334

334-341

341-348

348-355

4

8

22

36

62

50

33

16

5

1

0,017

0,034

0,093

0,153

0,262

0,211

0,140

0,068

0,022

0,004

0,017

0,051

0,144

0,295

0,557

0,768

0,907

0,975

0,996

1,000

å 237 1,000 -

Рис. 4. Полигон вариационного ряда выборки В.

Рис. 5. Гистограмма вариационного ряда выборки В.

При построении графиков откладываем по оси х значения с 285 по 355 и по оси ni/n - значения с 0 по 0,3(рис. 4 и 5).

Далее учитываем, что в качестве представителя каждого интервала взят его конец. Принимая за координаты точек концы интервалов и соответствующие накопленные частости (см. табл. 3) и соединяя эти точки прямыми, построим график эмпирической функции распределения (рис. 6).

Рис. 6. График эмпирической функции распределения выборки В.