Описанная сфера на олимпиадах и ЕГЭ (стр. 4 из 7)

S_АBС =

. Из (рис. 15)

имеем АС = АВ

, значит,

S_АBС=

.

Теперь получаем:

V_приз.

.

По условию,

R³ = V,

откуда R³=

,следовательно,

V_приз.

Ответ:V_приз.

Рис.17

Пример 2.Найти отношение поверхности и объёма шара соответственно к поверхности и объёму вписанного куба

Решение. Пусть радиус шара равен R, ребро куба равно а;

тогда R² -

, откуда а= .

Обозначим объемы и поверхности шара и куба соответственно через V₁, V₂, и S₁, S₂.

Имеем

V₁=

, V₂ = = , S₁ =4 , S₂=6а² =8R²,

откуда

V₁

V₂ = , S₁ S₂ = .

Ответ: V₁

V₂ = , S₁ S₂ = .

2.3 Примеры олимпиадных заданий с цилиндром

Рис.18

Пример. Найдите отношение объёма шара к объёму прямого кругового цилиндра, вписанного в этот шар, если известно, что меньший угол между диагоналями осевого сечения цилиндра равен

и диаметр основания больше высоты цилиндра (рис. 18).

Решение. Объём шара нам известен

, а объём цилиндра найдём по формуле , но , поэтому

Пусть ABCD- осевое сечение цилиндра (см. рис. 18). Так как диаметр основания, больше высоты цилиндра, то

– угол АОВ. Из треугольника АВО следует, что высота цилиндра

Радиус основания цилиндра

.

Угол

.

Получается, что

Подставим найденные данные в формулу объёма цилиндра:

;

Таким образом,

Найдём отношение

Ответ:

.

2.4 Примеры олимпиадных заданий сконусом

Рис.19

Пример 1.В шар радиуса Rвписан круговой конус; угол между образующими конуса в осевом сечении равен α. Найти высоту, образующую и радиус основания конуса.

Решение. Сечение шара, проходящее через ось конуса,— это большой круг шара, в который вписан

АВS(рис. 19), где AВ — диаметр основания конуса. Продолжим высоту (ось) конуса SO до пересечения с окружностью большого круга в точке Е и рассмотрим ЕSА:

в этом треугольнике

SE = 2R,

SАЕ = 90° и АSЕ= .

Поэтому

АS = 2R

.

Теперь из

АOS находим

AО= r = 2R

, SO = h=2R

Ответ:SO=2R

АS = 2R , AО= .

Пример 2. Отношению высоты конуса к радиусуописанного вокруг него шара равно k. Найти отношение объёмов этих тел. Выяснить при каких k задача имеет смысл.

Рис.20

Решение. Рассмотрим осевое сечение конуса (рис. 20). Пусть h — высота конуса, R — радиус шара, описанного около конуса. Тогда, по условию,

=k, т. е. h = kR.

Выразим радиус rоснования конуса через R; рассмотрев хорды АС и ВЕ, получим:

ВD

DЕ = АD DС(т. к. AD=DC,

– прямоугольный, AD– высота, опущенного из вершины прямого угла).

T. е.

(следовательно, k < 2).

V_ш =

; V_к = = .

Таким образом,

, (при 0 < k < 2).

Ответ:

, (при 0 < k < 2).

Пример 3. В усеченном конусе радиусы нижнего и верхнего оснований равны соответственно r₁и r₂, а образующая конуса наклонена к плоскости нижнего основания под углом α (рис. 21). Найти радиус шара, в который вписан данный усеченный конус.

Рис.21

Решение. В сечении шара, проходящем через ось усеченного конуса, получается большой круг шара, в который вписана трапеция АВСD. Рассмотрим

AВС, который также вписан в большой круг шара. В этом треугольнике известен угол СBA = α. В силу теоремы синусов, АС = 2R . Таким образом, для определения Rдостаточно найти АС. Опустим из точки С перпендикуляр СЕ на АВ. Очевидно,