Описанная сфера на олимпиадах и ЕГЭ (стр. 7 из 7)
3. Около правильной пирамиды FABCописана сфера, центр которой лежит в плоскости основания ABCпирамиды. Точка М лежит на ребре AB так, что AМ: МB=1:3. Точка Т лежит на прямой FAи равноудалена от точки М и В. Объём пирамиды ТВСМ равен
. Найдите радиус сферы, описанной около пирамидыFABC. (Ответ: 
)4. Отрезок AB – диаметр сферы. Точки С, Dлежат на сфере так, что объём пирамиды ABCDнаибольший. Найдите косинус угла между прямыми СМ и АВ, если М – середина ребра BD. (Ответ:
)5. Отрезок РN, равный 8, - диаметр сферы. Точка М, Lлежат на сфере так, что объём пирамиды РNМLнаибольший. Найдите площадь треугольника KLT, где KиT – середины рёбер РМ и NМ соответственно. (Ответ:4
)6. Дана сфера радиуса 6. Сечением сферы плоскостью является окружность с диаметром КТ. Плоскость сечения удалена от центра сферы на расстояние 5. Точка Р выбрана на сфере, а точкаL– на окружности сечения так, что объём пирамиды РКLТ наибольший. Найдите угол между прямой LMи плоскостьюPTK, если М середина ребра РК. (Ответ: 30
)7. Через центр О данной сферы проведено сечение. Точка F выбрана на сфере, а точки A, B, C, D – последовательно на окружности сечения так, что объём пирамиды FABCDнаибольший. Точки М, Т, L – середины рёбер FB, CDиADсоответственно. Площадь треугольника MLT равна 64
. Найдите радиус сферы. (Ответ: 2)8. Через центр О данной сферы проведено сечение. Точка F выбрана на сфере, а точки A, B, C, D – последовательно на окружности сечения так, что объём пирамиды FABCDнаибольший. Найдите синус угла между прямой АМ и плоскостью BFD. (Ответ:
)9. Дана сфера радиусом 10. Сечением этой сферы плоскостью является окружность с диаметром АВ. Плоскость сечения удалена от центра сферы на расстояние 8. Точка Dвыбрана на сфере, а точка С – на окружности сечения так, что объём пирамиды АВСD наибольший. Найдите площадь грани ACD.(Ответ: 27
)10. Основанием пирамиды является прямоугольник. Плоскость перпендикулярна плоскости АВС, тангенс угла между прямой ВС и плоскостью FACравен 2. Точка М лежит на ребре ВС и МВ=
Точка Lлежит на прямой FA и равноудалена от точек М и С. Центр сферы, описанной около пирамиды FAВCD, лежит в плоскости основания пирамиды, радиус этой сферы равен 4. Найдите объём пирамиды LAМС. (Ответ: 48)11. В шар, радиусом 2
вписана правильная треугольная призма АВСА1В1С1. Прямая АС1 Образует с плоскостью АВВ1 угол 45 . Найдите объём призмы. (Ответ: 288)12. В шар вписана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, объём которой равен 4,5. Прямая ВА1 образует с плоскостью ВСС1 угол45
. Найдите площадь поверхности шара. (Ответ: 11 
)13. В шар радиусом
вписана правильная треугольная призма АВСА1В1С1. Прямая АВ1 образует с плоскостью АСС1 угол 45 
. Найдите объём призмы. (Ответ: 36)14. Вычислить ребра правильной треугольной призмы, зная радиус Rописанного шара и угол наклона α радиуса этого шара, проведенного в вершину призмы, к боковой грани, содержащей эту вершину. (Ответ: 2
)15. В шар радиуса Rвписан прямой круговой конус. Найти боковую поверхность конуса, если его высота равна h. (Ответ:
)16. В шар вписан конус. Площадь осевого сечения конуса равна S. Угол между его высотой и образующей равен α. Найдите объём шара. (Ответ:
)17. Определите боковую поверхность конуса, зная длину радиуса Rописанного вокруг него шара и угол α, под которым из центра шара видна образующая конуса. (Ответ:
)18. Найдите отношение площади полной поверхности прямого конуса, вписанного в шар, к площади поверхности этого шара, если что угол при вершине осевого сечения конуса равен α и
. (Ответ: 
)19. В шар вписан конус так, что его высота делится центром шара в среднем и крайнем отношении. Найти угол при вершине осевого сечения конуса. Определить, во сколько раз объем шара больше объема конуса. (Ответ:
; в 4 раза)