Теория сравнений (стр. 5 из 12)

Пример 1.

НОД (5,9) = 1, следовательно, сравнение имеет одно решение. Найдем его способом «подбора», то есть перебирая все числа из полной системы вычетов по mod m: {0, 1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8} (m = 9).

следовательно,

удовлетворяет сравнению, поэтому решением будет класс вычетов по mod m или, по-другому, .

А так как данное сравнение имеет 1 решение, то остальные числа

: 5, 6, 7, 8 проверять уже не надо.

Ответ:

.

Заметим, что для нахождения решения сравнения первой степени с одной переменной (если оно есть) существует несколько способов:

1) подбора;

2) преобразования коэффициентов;

3) Эйлера (с помощью функции Эйлера);

4) цепных дробей.

Если модуль m является простым числом, то есть

, число не делится на , то сравнение имеет единственное решение. Следовательно, множество классов вычетов образует поле по отношению сложения и умножения классов вычетов. Его обозначают через

Пример 2. Вычислить остаток при делении

на 15.

Решение. 1 способ. Сравнение

для применения теоремы Эйлера сократим на 3 (очевидно, .

Так как

, то по теореме Ферма показатель 99 можно уменьшить по модулю 4. Получаем, что из следует:

.

Умножаем на 3 обе части сравнения и модуль:

, т.е.

.

Аналогично вычисляем

. Отсюда почленным сложением сравнений найдем: . Затем, возводя в 100-ю степень обе части сравнения, получаем .

Ответ: 1.

2 способ. Сравнение

рассмотрим отдельно по модулям 3 и 5 (делители 15). Так как и , то

,

.

Среди целых чисел от 0 до 14 (возможные остатки при делении на 15) только 1, 6, 11 сравнимы с 1 по модулю 5. А среди этих трех только 1 сравнима с 1 по модулю 3, т.е.

. Тогда .

3 способ. Число

не делится на 3 (первое слагаемое делится, а второе не делится) и не делится на 5. Так как 3 и 5 есть простые числа, то с ними взаимно просто и взаимно просто с 15. По теореме Эйлера

,

Ответ: 1.

Пример 3. Разложить

в цепную дробь. Проверить разложение, свернув цепную дробь последовательным вычислением подходящих дробей.

Решение. Найдём элементы цепной дроби как частные в алгоритме Евклида:

Сделаем сокращённую запись:

Пусть

обозначает элемент цепной дроби, ю подходящую дробь, подходящей дроби. Будем вычислять подходящие дроби по рекуррентной формуле

,

используя схему:

	2	39	1	3
	1	2	79	81	322
	0	1	39	40	159

Как видно, последняя подходящая дробь совпадает с исходным числом.

Замечание. Непосредственное сворачивание конечной цепной дроби «снизу вверх» обычно громоздко:

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. Сократите дробь

, применяя алгоритм Евклида.

Задача 2. Сколько натуральных чисел взаимно просто с 520 и не превосходит это число? (решить с помощью функции Эйлера)

Задача 3. Решить сравнение

Задача 4. Найти все целочисленные решения уравнения

2.4 Метод преобразования коэффициентов

Теорема 1. Пусть дано сравнение:

(2.8)

НОД

и Тогда класс вычетов по модулю m является решением сравнения (2.8).

Доказательство. Так как НОД

, то сравнение имеет одно решение. Кроме того, Возьмем целое число , , тогда , следовательно, получим сравнение: , которое является верным сравнением.

Поэтому целое число

удовлетворяет сравнению, а, значит, класс вычетов по модулю m является решением сравнения. Теорема 1 доказана.

Примеры.

1)

НОД

, поэтому сравнение имеет единственное решение.

.

Найдем такое целое число k, чтобы

делилось на 5. Например, . Тогда получим: , .