Приближенные решения задач математической физики (стр. 3 из 8)

Если

, (в соответствии с условиями на границе).

Пример 2:

, , .

а) симметричность

б)

, . Докажем, что оператор С – положительно определенный

.

, . Докажем, что оператор не является положительно определенным

. Если , то (не выполняется определение, хотя граничные условия выполняются).

Пример 3:

, ,

Рассмотрим задачу определения прогиба мембраны, закрепленной по краям:

,

– пропорционально потенциальной энергии мембраны.

Потенциальная энергия мембраны, изогнутой как угодно, положительна, иначе говоря, невозможно изогнуть мембрану, не затратив на это энергии.

Пусть некоторая физическая система под действием внешней причины

, приобретает смещение и пусть

,

где

– положительный оператор. Тогда величина

пропорциональна величине энергии, которую необходимо затратить, чтобы сообщить системе смещение

.

– энергия функции (для положительного оператора ).

Симметричный оператор

называется положительно определенным, если для

справедливо неравенство

(11)

где

– положительная постоянная.

Если оператор положительно определенный, то он положительный, обратное не всегда верно.

Пример 4:

, .

– положительный оператор. Докажем его положительную определенность.

(с учетом )

Неравенство Буняковского:

. Примем , :

.

Энергетическое пространство положительно определенного оператора

Оператор

- положительно определенный оператор, – линеал (область определения линейного оператора). Введем – энергетическое пространство оператора (полное гильбертово пространство, совпадающее с ) с обозначениями:

. (1) - энергетическое произведение

, (4) - энергетическая норма .

. (5)

Теорема 1.

Все элементы пространства

принадлежат также к пространству .

(Точнее: каждому элементу из

можно привести в соответствие один и только один элемент из , причем разным элементам из соответствуют разные элементы из .)

Сходимость в энергетическом пространстве – сходимость по энергии (

).

Теорема 2.

Если

– положительно определенный оператор и по энергии, то одновременно в метрике исходного пространства :

Энергетическое пространство только положительного оператора

Оператор положительный, но не положительно определенный, называется только положительным. Не все элементы энергетического пространства только положительного оператора принадлежат исходному пространству.

Элемент

принадлежит исходному пространству тогда и только тогда, когда , что и 0. При этом последовательность стремится к тому же элементу в пространстве :