Геометрия 10 класс Бурда академ (стр. 2 из 6)
Властивості паралельних прямих. Якщо дві паралельні прямі перетинає третя (мал. 3), то:
1) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°:
а
а + р = 180°
| Мал. 1 |
 |
| Z1 =Z2 |
| Мал. 2 |
 |
Z1 + Z2 = 180°;
2) внутрішні різносторонні кути рівні: Z1 = Z3;
3) відповідні кути рівні: Z1 = Z4.
и Твердження, обернені до тверджень 1) — 3), — це
ознаки паралельності прямих. Сформулюйте їх самостійно.
ТРИКУТНИКИ. коло
Залежно від міри кутів, трикутники поділяють на гострокутні, тупокутні й прямокутні, а залежно від довжин сторін - на різносторонні, рівнобедрені й рівносторонні.
У будь-якому трикутнику ABC (мал. 4):
1) ZA + ZB + Z С = 180° (теорема про суму кутів трикутника);
2) c 1 2 3 4 = a1 + b1 - 2ab ¦ cos C (теорема косинусів);
3) slnA = sinB = sin C = 2R (теорема синусів), де R - радіус описаного
кола.
У прямокутному трикутнику ABC (мал. 5):
1) ZA + ZB = 90°;
2) c 1 = a1 + b1 (теорема Піфагора);
3) а = с sin А = с cos В = b tg А.
Периметр трикутника дорівнює сумі довжин його сторін. Площу трикутника можна обчислити за формулами:
1
2
1) S
aha , де ha - висота, проведена до сторони а;
У таблиці 1 подано ознаки рівності й ознаки подібності трикутників. Сформулюйте їх попарно. У чому їх відмінність?
Спираючись на таблицю 2, сформулюйте означення вписаних і описаних трикутників та їх властивості.
| Таблиця 2 |
| B C |
 |
| Мал. 6 |
| B C | |
 | b |
| Мал. 7 | |
 | C |
| D Мал. 8 | |
 |
| a Мал. 9 |
| B b C |
 |
1) AD || BC, AB || DC;
2) AD = BC, AB = DC;
3) Z A = Z C, Z B = Z D;
4) AO = OC, BO = OD;
5) Z A + Z B = 180°, Z A + Z D = 180°. Площа паралелограма: S = ah.
Прямокутник ABCD (мал. 7):
1) усі властивості паралелограма;
2) Z A = Z В = Z С = Z D = 90°;
3) АС = ВD.
Площа прямокутника: S = ab.
Ромб ABCD (мал. 8):
1) усі властивості паралелограма;
2) AB = ВC = СD = DA;
3) АС 1 BD;
4) Z ABD = Z CBD, Z BAC = Z DAC.
Площа ромба: S = 1 d1d 2.
2
Квадрат ABCD (мал. 9): усі властивості паралелограма, прямокутника, ромба.
Площа квадрата: S = a2.
Трапеція ABCD (мал. 10):
1) AD || BC;
.. .. AD + BC
2) MN || AD, MN || BC, MN=
2
де MN - середня лінія.
(a + b) h
Площа трапеції: S =
2
Властивості вписаних і описаних чотирикутників:
1) у вписаному чотирикутнику MNKP (мал. 11): Z M + Z P = 180°, Z N + Z K = 180°;
2) в описаному чотирикутнику ABCD (мал. 11): AB + CD = AD + BC.
МНОГОКУТНИКИ
Вписані й описані многокутники
Пригадайте означення вписаного многокутника та означення описаного многокутника. Порівняйте ці означення з наведеними у підручнику.
вписаним у коло описаним навколо кола ,
Многокутник називається
вершини лежать на колі якщо всі його сторони дотикаються до кола .
Правильні многокутники
Спираючись на малюнок 12 та скорочені записи, сформулюйте означення та властивості правильних п-кутників.
1) AB = BC =...= AF i Z A = Z B =...= Z F;
2) точка О є центром описаного кола і вписаного кола;
360°
3) ZAOF =-;
п
4) Z A + Z B +...+ Z F = 180° (п -2);
tgZ AOK 180
2tg п
5) r =
AK
a
6) R =
sin ZAOK 0 . 180 2sm-
п
| C |
 |
МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПЛАНІМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ
1. використання властивостей допоміжних трикутників.
Трикутник або кілька нерівних трикутників
Задача. Знайдіть висоту трапеції, якщо її осно- В
ви дорівнюють а і c (a > c), а прилеглі до основи а кути дорівнюють а і р.
Розв’язання. Нехай ABCD — трапеція з основами AD = a, BC = c і ZA = а, ZD = в (мал. 13). Проведемо пряму BE N CD. У A ABE AE = а — c, ZBAE = а, ZBEA = ZCDA = р.
AB
За теоремою синусів знаходимо AB :
 |
| Мал. 13 |
AE
sin р sin (180° - (а + р))
(а- c)sin р
(1)
AB =
звідки
sin (а + р)
Проведемо висоту BK трапеції. AABK — прямокутний. Тоді BK = AB ¦ sina. (2)
(а - c) sinр sin а
sin (а + Р)
Підставивши рівність (1) у (2), дістанемо: BK=
4 І Розв’язуючи геометричні задачі, дотримуйтесь такого плану:
1) відшукайте на малюнку трикутник (або утворіть його, провівши потрібні відрізки), який можна розв’язати (у нашій задачі — це AABE);
2) задача буде розв’язаною, якщо знайдений елемент (сторона AB) трикутника задовольняє умову задачі;
3) якщо ні, то, враховуючи знайдений елемент, відшукайте на малюнку другий трикутник (AABK). Якщо задачу задовольняє знайдений елемент другого трикутника (висота BK), — вона розв’язана. В іншому випадку розгляньте третій трикутник і т. д. доти, поки не дістанете такий трикутник, сторона чи кут якого дає розв’язок задачі.
Рівні трикутники
| В С |
 |
(jit Задача. Доведіть, що діагоналі рівнобічної трапеції рівні.
I». Розв’язання. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (мал. 14). У трикутників ABD і DCA: AD — спільна сторона, AB = CD за означенням рівнобічної трапеції, ZA = ZD за властивістю рівнобічної трапеції. Отже, AABD = ADCA за двома сторонами і кутом між ними. З рівності трикутників випливає, що AC = BD.
4J Пам’ятайте:
— щоб довести рівність двох відрізків (кутів):
1) виділіть на малюнку два трикутники, сторонами яких є ці відрізки (кути);
2) доведіть, що ці трикутники рівні;
3) зробіть висновок: відрізки (кути) рівні як відповідні сторони (кути) рівних трикутників.
— якщо в задачі треба знайти певний відрізок (кут), то його корисно розглянути як сторону (кут) одного з двох рівних трикутників.
Подібні трикутники
Подібні трикутники використовуються під час доведення рівностей, які містять добутки довжин двох пар відрізків.
Задача. Якщо хорди AB і CD кола перетинаються в точці M, то AM¦ BM = CM¦ DM. Доведіть.
Розв’язання. Проведемо аналіз (мал. 15). Припустимо, що рівність, яку треба довести, справджується. Запишемо її у вигляді пропорції AM _ DM
CM---BM' З пропорції випливає, що трикутники
із сторонами AM і CM, DM і BM мають бути подібними. Справді, у них ZAMC = ZDMB як вертикальні, ZACM = ZDBM як вписані, що спираються на дугу AD. Отже, AAMC™ ADMB за двома кутами. Міркуючи у зворотному напрямі, дістанемо
І-
що AAMC ~ ADMB.
DM. BM .
AM
CM
З подібності цих трикутників випливає пропорційність їх сторін: Звідси AM ¦ BM = CM ¦ DM.
u пам’ятайте:
— щоб довести рівність добутків двох пар відрізків:
1) припустіть правильність рівності, яку доводите;
2) запишіть її у вигляді пропорції;
3) відшукайте на малюнку (або побудуйте) трикутники, довжини сторін яких є членами утвореної пропорції;
4) обґрунтуйте подібність цих трикутників.
— якщо в задачі треба знайти певний відрізок, то його корисно розглянути як сторону одного з двох подібних трикутників і скласти відповідну пропорцію.
2. метод подібності
 |
| Мал. 16 |
Метод подібності часто застосовують у розв’язуванні задач на побудову.
Задача. Побудуйте трикутник за двома кутами A і C та висотою h, проведеною з вершини кута B.
Розв’язання. Знаючи кути A і C, спочатку будуємо який-небудь трикутник A1BC1, подібний шуканому, взявши довільно відрізок A1C1 (мал. 16). Потім будуємо висоту BD1 цього трикутника. На промені BD1 відкладаємо відрізок BD = h і через точку D проводимо AC N A1C1. A ABC — шуканий.
Справді, AC N A1C1, тому ZA = ZA1, ZC = ZC1 і, отже, два кути трикутника ABC дорівнюють даним кутам. За побудовою, висота BD = h. Таким чином,