Геометрия 10 класс Билянина академ (стр. 2 из 8)

№

Назва аксіоми

Зміст аксіоми

Наслідки з аксіом

Аксіоми відкладання

IV1.

IV₁. На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна від класти відрізок заданої довжини і до того ж тільки один. IV₂. Від будь-якої півпрямої в задану півплощину можна відкласти кут із заданою градусною мірою, меншою 180, і до того ж тільки один. IV₃. Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому, у заданому розміщенні відносно даної півпрямої

Якщо пряма, яка не проходить через жодну з вершин трикутника, перетинає одну з його сторін, то вона перетинає тільки одну з двох інших сторін

Аксіома паралельності V₁.

V₁. Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести не більше як одну пряму, паралельну даній

Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й другу

Щоб установити правильність твердження про властивості тієї чи іншої геометричної фігури, доводиться висловлювати деякі міркування. Серед цих міркувань є такі, які потребують доведення (теореми, задачі). Твердження, істинність якого встановлюється шляхом доведення і яке використовується для доведення інших тверджень, називають теоремою. Теорема складається з двох частин: умови і висновку. Для доведення тео рем у шкільному курсі геометрії використовують в основному такі методи (див. § 1.3):

а) по структурі доведення – прямий (аналітичний і синте-

тичний), від супротивного;

б) по використанню математичного апарату – алгебраїчний,

координатний, векторний і т. д.

Усі міркування під час доведення теорем довільним методом опираються на аксіоми та відомі доведені факти. Тобто під час доведення теореми дозволяється користуватися тільки основними властивостями найпростіших фігур (аксіомами) і раніше доведеними властивостями (теоремами). Ніякими іншими властивостями фігур, навіть якщо вони здаються очевидними, користуватися не можна. Наприклад, під час доведення теорем можна користуватися рисунком. Однак це лише геометрична модель змісту тексту, вираженого словами. Тому робити за рисунком висновки про властивості фігур не дозволяється.

Отже, геометрія, як і інші математичні науки, будується за такою схемою: спочатку потрібно ввести основні поняття, задати аксіоми (правила гри), а пізніше, опираючись на аксіоми, виводити інші факти (проводити гру за визначеними правилами, які є несуперечними між собою).

1.2. На одній прямій позначено три точки А, В і С так, що АВ  2,72 дм, ВС  1,38 дм і АС  1,34 дм. Визначте правильні твердження щодо розміщення однієї точки між двома іншими. А) А  ВС; Б) В  АС; В) С  АВ; Г) С  АВ; Д) В  АС.

1.3. Відомо, що відрізок АМ довший за відрізок ВМ у 3 рази. Укажіть два математичні твердження, що відповідають тексту задачі.

А) АМ  3ВМ; В) АМ 

ВМ; Д) ВМ 

АМ.

Б) 3АМ  ВМ; Г) АМ + ВМ  4АМ;

1.4. Укажіть два правильні скорочені записи умови задачі: «Відрізок АМ коротший за відрізок ВМ на 2 см».

А) АМ – ВМ  2 см; Г) АМ + 2 см  ВМ;

Б) ВМ – АМ  2 см; Д) АМ  ВМ + 2 см.

В) АМ – 2 см  ВМ;

1.5. Знайдіть градусну міру кута AOM, якщо AOB  150, а AOM у 2 рази більший за BOM (М – внутрішня точка AOB).

А) 50; Б) 100; В) 75; Г) 30; Д) 120.

1.6. Знайдіть довжини відрізків АМ і ВМ (М  АВ), якщо довжина відрізка АВ дорівнює 12 см, а відрізок АМ коротший за відрізок ВМ на 3 см.

А) 1,5 см і 4,5 см; В) 7,5 см і 10,5 см; Д) 5 см і 7 см.

Б) 4,5 см і 7,5 см; Г) 6 см і 9 см;

1.7. На одній прямій позначили 21 точку так, що відстань між будь-якими двома сусідніми точками дорівнює 3 см. Знайдіть відстань між крайніми точками.

А) 63 см; Б) 60 см; В) 66 см; Г) 57 см; Д) 54 см.

1.8. На відрізку АВ завдовжки 42 см позначено точку М відповідно до умов (А–Д). Доберіть до кожної з них правильні твердження (1–6).

А) АМ  ВМ на 2 см; 1) АМ  18 см;

Б) АМ  ВМ на 6 см; 2) ВМ  28 см;

В) 2АМ  ВМ; 3) АМ  22 см;

Г) АМ : ВМ  3 : 4; 4) ВМ  24 см;

Д) 0,5ВМ  АМ. 5) АМ  14 см;

6) ВМ  20 см.

1.9. Промінь ОА проходить між сторонами кута РОМ, градусна міра якого дорівнює 160. Доберіть до кожної умови (А–Д) правильні твердження (1–6).

А) РОА  АОМ на 40; 1) АОМ  110;

Б) РОА  АОМ на 60; 2) РОА  120;

В) АОМ  0,6РОА; 3) АОМ  60;

Г) РОА  3АОМ; 4) РОА  100;

Д) АОМ : РОА  3 : 5. 5) АОМ  40; 6) РОА  50.

1.10. Складіть кілька правильних математичних тверджень до кожного з рисунків.

1.11. На промені ОХ відкладено два відрізки: ОА  7,3 см і ОВ  5,8 см. Визначте довжину відрізка АВ.

1.12^. Визначте, яка з трьох точок: А, В, М – лежить між двома іншими.

1) АМ  3 см, АВ  8 см, ВМ  5 см;

2) АМ  7 см, ВМ  12 см, АВ  19 см; 3) АМ  27 см, ВМ  5 см, АВ  22 см;

4) АМ  9 см, ВМ  21 см, АВ  12 см;

5) АМ  21 см, ВМ  37 см, АВ  16 см; 6) ВМ  18 см, АМ  33 см, АВ  15 см.

1.13^. Визначте довжину відрізка KМ, якщо точка О розділяє відрізок АВ на два відрізки завдовжки 18 см і 14 см, а точки K і М – середини відрізків АО і ОВ.

1.14^. На відрізку АВ завдовжки 48 см позначено точку О. Знайдіть довжини відрізків АО і ОВ, якщо АО : ОВ  3 : 5.

1.15^. Знайдіть довжину відрізка МВ, якщо точки А, В, С і М лежать на одній прямій, причому АС  12 см, СВ  5 см, а М – середина відрізка АС.

1.16^. Промінь ОМ проходить між сторонами KОС, градусна міра якого дорівнює 153. Знайдіть кути KОМ і МОС, коли відомо, що KОМ у 2 рази більший за МОС.

§ 1.2.

Опорні факти курсу планіметрії

1.17^. На відрізку АВ завдовжки 75 см позначено дві точки М і K (M  AK, K  MB) так, що відрізок АМ на 5 см довший за відрізок МK, а відрізок KВ у 2 рази довший за відрізок АМ. Знайдіть довжини п’яти утворених відрізків.

1.18^. Промінь, що лежить між сторонами кута, розбиває його на два кути. Доведіть, що бісектриси цих кутів утворюють кут удвічі менший від величини заданого кута.

1.19^. Дано чотири прямі а, b, с і d, причому кожні три з них перетинаються в одній точці. Доведіть, що всі чотири прямі проходять через одну точку.

Даний параграф призначається для повторення курсу планіметрії. Потреба в ньому зумовлена тим, що багато питань курсу планіметрії на першому етапі навчання у школі розглядаються дещо поверхнево. І хоч у наступних класах рівень вивчення матеріалу підвищується, не завжди вдається повернутися і поглибити раніше вивчені теми. У даному пункті систематизовано та узагальнено основні відомості з планіметрії, які умовно розбиті на блоки: взаємне розміщення прямих на площині; коло і круг; многокутники; трикутник і його елементи; опуклі чотирикутники.

Взаємне розміщення прямих на площині

Дві прямі на площині можуть перетинатися лише в одній точці або не перетинатися, тобто бути паралельними. При перетині двох прямих утворюються суміжні і вертикальні кути. Суміжні кути доповнюють один одного до 180, а вертикальні – рівні. Менший з них називається кутом між прямими. На рисунку 1.3 зображено дві прямі AD і BC, які перетинаються в точці О, утворюючи суміжні та вертикальні кути: