Геометрия 10 класс Билянина академ (стр. 5 из 8)
4) Для сторін прямокутного трикутника істинні відношен-
ня:
.Запам’ятайте!
| | 30 | 45 | 60 | Вказівка для кращого запам’ято ву ван ня: 1) запишіть риски дробів для кожного зна- |
| sin |  |  |  | чення виразу sin і cos та знаменники, що дорівнюють 2; 2) запишіть у чисельниках числа: 1, 2, 3 (для sin) і, навпаки: 3, 2, 1 (для cos); 3) допишіть знак радикала до кожного чисельника дробу. Враховуючи те, що  , отримуємо заповнену таблицю |
| cos |  |  | |
Опуклі чотирикутники
Чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні, називається паралелограмом. Властивості паралелограма:1) Середина діагоналі паралелограма є його центром си мет рії.
2) Протилежні сторони паралелограма рівні.
3) Протилежні кути паралелогра-
ма рівні. Рис. 1.20
4) Кожна діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.
5) Діагоналі паралелограма діляться точкою перетину навпіл.
6) Сума квадратів діагоналей паралелограма (d1 і d2) дорівнює сумі квадратів усіх його сторін:
.Щоб довести, що деякий заданий чотирикутник є паралелограмом, треба, згідно з означенням, переконатися в паралельності його протилежних сторін. Інколи такі міркування є громіздкими, а інколи – зайвими. Існують інші доведені ознаки, на підставі яких можна стверджувати, що даний чотирикутник є справді паралелограмом.
Якщо в чотирикутнику справджується будь-яка з таких умов: 1) протилежні сторони попарно рівні; 2) дві протилежні сторони рівні і паралельні; 3) протилежні кути попарно рівні; 4) діагоналі в точці перетину діляться навпіл, то такий чотирикутник є паралелограмом.
Прямокутник – це паралелограм, у якому всі кути рівні. Оскільки сума кутів чотирикутника дорівнює 180(4 – 2) 360, то в прямокутнику всі кути прямі. Прямокутник має всі властивості паралелограма. Крім того, він має ще одну властивість: діагоналі прямокутника рівні між собою.
Для прямокутника справджується і обернена теорема про те, що коли в паралелограмі діагоналі рівні, то такий паралелограм є прямокутником. Ця теорема є ознакою прямокутника.
Ромб – це паралелограм, у якому всі сторони рівні. Крім загальних властивостей паралелог рама, ромб має ще й інші властивості, характерні лише для нього.
Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні і ділять його кути навпіл. Справджується і обернена теорема, яка є ознакою ромба: якщо в паралелограмі діагоналі взаємно перпендикулярні або якщо в ньому діагоналі ділять кути навпіл, то такий паралелограм – ромб.
Квадрат – це паралелограм, у якому всі кути рівні і всі сторони рівні. Отже, квадрат – це прямокутник з рівними сторонами або квадрат – це ромб з рівними кутами (прямими). Очевидно, що квадрат має всі властивості прямокутника і ромба.
Трапеція – це чотирикутник, у якому тільки дві протилежні сторони паралельні. Ці паралельні сторони називаються основами трапеції, дві інші сторони – бічними сторонами. Якщо бічні сторони трапеції рівні між собою, то таку трапецію називають рівнобічною (рис. 1.21, АВ СD).Рівнобічна трапеція має такі властивості:
1) Кути, прилеглі до основи рівнобічної трапеції, рівні. Справджується і обернене твердження: якщо
кути, прилеглі до основи трапеції, рівні, то така трапеція рівнобічна.
2) Діагоналі рівнобічної трапеції рівні.
3) Сума протилежних кутів рівнобічної трапеції дорівнює 180.
Відрізок, що сполучає середини бічних сторін трапеції, називається її середньою лінією (рис. 1.21, MN – середня лінія, AM MB, CN ND).
Середня лінія трапеції паралельна її основам і дорівнює їхній півсумі (рис. 1.21, MN AD, MN BC,
). 
1.20. При перетині прямих a і b утворилося чотири кути (рис. 1.22, а). Задайте кожній з умов (А–Д) можливий наслідок (1–5).
| А |
| Б |
| В |
| Г |
| Д |
А) 1 3; 1) 3 4 90;
Б) 2 + 3 180; 2) 1 2 4 90;
В) 1 2 90; 3) 1 і 4 – суміжні;
Г) 2 + 4 260; 4) 1 і 3 – гострі;
Д) 3 90. 5) 2 і 4 – вертикальні.
1.21. Умовами (1–7) указано градусну міру деяких кутів. Виберіть серед них ті, які можуть бути суміжними.
1) 18; 2) 72; 3) 128; 4) 62; 5) 28; 6) 108; 7) 38. А) 1 і 2; Б) 2 і 6; В) 3 і 4; Г) 1 і 7; Д) 2 і 5.
1.22. Виберіть правильний висновок, коли відомо, що
1 7 (рис. 1.22, б).
1.23. Знайдіть градусну міру 3 (рис. 1.23), якщо CD AB, 1 2 і 2 72.
А) 72; Б) 144; В) 108; Г) 36; Д) 124.
1.24. Знайдіть градусну міру зовнішнього кута KMN трикутника KMZ (рис. 1.24).А) 135; В) 108; Д) 45.
Б) 125; Г) 117;
1.25. Знайдіть градусну міру кута між бісектрисою кута при вершині рівнобедреного трикутника та його бічною стороною, Рис. 1.24 якщо кути трикутника ABC відносяться як 3 : 4 : 3.
А) 18; Б) 36; В) 72; Г) 60; Д) 30.
1.26. Визначте правильні рівності (рис. 1.25).
А) ABO OCD; В) BA CD; Д) BAO DCO;
Б) AOB COD; Г) AOB DOC; Е) BAO CDO.
1.27. Знайдіть кути трикутника BOC (рис. 1.26).
А) 48, 48, 84; В) 24, 132, 24; Д) 48, 132, 20.
Б) 132, 48, 48; Г) 42, 90, 48;
1.28. Ідентифікуйте кожному шестикутнику периметра Р коло радіуса R, описане навколо нього.
| А |
| Б |
| В |
| Г |
| Д |
А) P 42 см; 1) R 2 см;
Б) P 12 см; 2) R 8 см;
В) P 84 см; 3) R 6 см;
Г) P 48 см; 4) R 14 см;
Д) P 36 см. 5) R 7 см.
1.29. Обчисліть периметр трикутника з вершинами в центрах трьох кіл з радіусами 6 см, 7 см і 8 см, що попарно дотикаються зовні (рис. 1.27).
1.30. Виберіть вирази, якими визначаються радіус вписаного кола в правильний трикутник зі стороною а та радіус описаного навколо нього кола:
1)А) 24 см; Б) 12 см; В) 6 см; Г) 18 см; Д) 4 см.
1.32. Сторона квадрата дорівнює
см. Укажіть довжину радіуса кола, вписаного в цей квадрат.А) 20 см; Б)
см; В) 10 см; Г) 
см; Д) 5 см.1.33. Одна з основ трапеції на 8 см більша за іншу, а середня лінія трапеції дорівнює 10 см. Знайдіть меншу основу трапеції.
А) 2 см; Б) 4 см; В) 6 см; Г) 8 см; Д) 10 см.
1.34. Обчисліть площу ромба, діагоналі якого дорівнюють 10 см і 36 см.
А) 90 см2; Б) 92 см2; В) 180 см2; Г) 184 см2; Д) 360 см2.
1.35. Знайдіть кут між прямими a і b, якщо прямі m і n паралельні (рис. 1.29).
А) 50; Б) 80; В) 100; Г) 65; Д) 115.
1.36. Визначте довжини радіусів двох кіл, що дотикаються зовні, якщо відстань між їхніми центрами 18 см, а довжина одного з них становить 50 % довжини іншого.