Руководствуясь теорией сложности алгоритмов, мы можем искать числовое множество, которое имело бы смысл для человека, не требовало бы бесконечной точности и могло бы заменить числовой континуум, хотя сама теория сложности алгоритмов не может, очевидно, указать нам некую естественную границу точности наблюдений.
Прежде всего нужно вычеркнуть из континуума невычислимые иррациональные числа, обладающие положительной сложностью по Колмогорову. Для вычисления, хранения и определения таких сверхчеловеческих чисел необходима бесконечная информация. Затем идут внешне невинные числа, вычисление которых требует бесконечного числа итераций конечного алгоритма. Строки цифр для таких чисел также содержат бесконечное количество информации (log2 n, когда n стремится к бесконечности), требуют бесконечной ёмкости для хранения и бесконечного времени для вычисления. После того как мы исключим и эти числа, всякое число в оставшемся счётном всюду плотном множестве будет иметь лишь конечное число знаков в своей десятичной записи. Каждое из таких оставшихся чисел в отдельности вполне приемлемо, но неприемлемо их множество в целом, так как оно содержит бесконечную информацию. Итак, мы исключаем последние бесконечности: бесконечно большую величину
∞ = (1 + 1 + 1 + ...)
и бесконечно малую
0 = (1 + 1 + 1 + ...)–1.
Кроме того, мы требуем, чтобы алгебраическая разность любых двух элементов множества была отлична от этих двух бесконечностей. В результате числовой континуум сведётся к ограниченному конечному точечному множеству, которое, не уменьшая общности, можно принять за некоторое конечное множество целых чисел. Именно это числовое множество напрашивается на роль основы для пересмотра физических теорий. Самое удивительное в таком пересмотре, пожалуй, то, что мы можем заранее предвидеть квантованность всех физических переменных. В заключение многое из того, о чём я рассказал в этой статье 7, можно резюмировать в следующей басне.
Давным-давно, ещё до начала времени, боги даровали человеку число 1, чтобы ему было чем поразвлечься на досуге. Человеку так понравилось число 1, что он нашёл ему пару и назвал новое число 2, а затем ещё одно число, которое назвал 3. В один из следующих дней, когда человек созерцал истину и красоту числа N, его подруга принесла ему соблазнительный плод, который дал ей змей, назвавший свой дар алевом. Стоило человеку вкусить плода, как ему ударило в голову, и ум его, воспарив, на мгновенье постиг смысл суммы (1+1+1+...), но к утру он не помнил ничего, кроме пустых символов ...
Мораль: не тщись объять необъятное.
Благодарность — в СССР. Эта статья — конечный результат многих разъяснений, советов и замечаний, которыми щедро делился с автором его друг и коллега проф. Б. В. Чириков из СССР. Все комплименты надлежит адресовать именно ему. Критические замечания просьба направлять в Атланту.
Примечания
Joseph Ford. "How random is a coin toss?" — Physics Today, April 1983, p. 40–47. Перевод с английского Ю.А. Данилова. назад к тексту
1. См. ясный, очень хорошо написанный обзор [1]. назад к тексту
2. На этот заговор молчания сетовал также Уайтман [2]. назад к тексту
3. Помимо работ [1–4] см. также библиографию, составленную Хеллеманом [6]. назад к тексту
4. Элементы последовательности номеров не обязательно должны быть статистически независимы, хотя у читателя, возможно, создалось обратное впечатление. (См. статью Мартин-Лёфа [8].) назад к тексту
5. Наше определение невычислимого числа не совпадает с определением, принятым у специалистов по теории вычислительных машин, но не очень сильно от него отличается. назад к тексту
6. В полуофициальных беседах в кулуарах различных конференций. назад к тексту
7. Читатели, питающие склонность к истории, возможно, обратили внимание на множество параллелей между моей статьёй и многочисленными статьями, опубликованными ранее — по крайней мере до времён Максвелла. Но самую полную и разительную параллель можно усмотреть между моей статьёй и статьёй М. Борна «Является ли классическая механика действительно детерминистской?» [9]. назад к тексту
Список литературы
1. Moser J., Memoirs Amer. Math. Soc., No. 81 (1968).
2. Wightman A.S., in: Perspectives in Statistical Physics (ed. H.J. Raveche), North-Holland, Amsterdam, 1981.
3. Lebowitz J.L., Penrose O., Physics Today, February 1973, p. 23.
4. Berry M., in: Topics in Nonlinear Dynamics (ed. S. Jorna), A.I.P. Conf. Proc, 46, 16 (1978).
5. Henon M., Heiles C., Astron. Journ., 69, 73 (1964).
6. Helleman R.G.H., in: Fundamental Problems in Statistical Physics, v. 5 (ed. E.G.D. Cohen), North-Holland, Amsterdam, 1980.
7. Брудно A.A. — Успехи мат. наук, 1978, т. 33, с. 207.
8. Chaitin G.J., Sci. Amer., May 1975, p. 47; Звонкин А.К., Левин Л.А. — Успехи мат. наук, 1970, т. 25, с. 85; Martin-Löf P., Journ. Information and Control, 9, 602 (1966); Alekseev V.M., Yakobson M.V., Phys. Repts., 75, 287 (1981).
9. Born M., Physics In My Generation, Springer-Verlag, New York, 1969, p. 78. [Имеется перевод: Борн М. Физика в жизни моего поколения. — М.: ИЛ, 1963, с. 285.]