2. Примеры плоских течений.
1. Однородный равномерный поток.
2. Источник и сток.
3. Вихрь.
4. Вихреисточник.
5. Диполь.
3. Бесциркуляционное обтекание цилиндра.
1. Сетка течения плоского потока несжимаемой жидкости.
Функция тока
В гидродинамике невязкой жидкости особенно полно разработана теория плоских стационарных (установившихся) течений.
Пусть, например, плоский безграничный поток обтекает цилиндрическое (или призматическое) тело, бесконечное в направлении, перпендикулярном к скорости течения. Характер течения (обтекания) тела будет одинаков во всех плоскостях, перпендикулярных к образующим тела.
Следовательно, для исследования кинематики и динамики такого потока достаточно рассмотреть плоскую задачу "обтекаемого" тела. В этом случае скорости и давления зависят только от двух координат, пусть, например, X и Y, также функциями этих двух координат являются проекции ... и ... скорости течения.
Пусть определена функция ... , которая удовлет-
воряет следующим условиям
...
Такая функция называется в гидромеханике функцией тока.
Уравнение линий тока в случае плоского течения имеет вид:
...
или
...
Подставляя сюда выражения проекций скорости через частные производные функции ..., найдём
...
При установившемся течении левая часть этого выражения представляет собой полный дифференциал функции ..., напишем
...
Отсюда следует, что ... , таким образом, функция
тока на линии тока сохраняет постоянное значение.
Предположим, что рассматриваемый плоский поток является потенциальным, т.е. что во всех точках потока имеет место условие
...
В соответствии с принятыми предположениями в этом случае
...
где ... - потенциал скорости.
Из условия ... имеем
...
Подставляя сюда выражение для функции тока, получим
...
Поскольку мы рассматриваем несжимаемую жидкость, то уравнение неразрывности принимает вид
...
или через потенциал скорости
...
Дифференциальные уравнения второго порядка, выражающее, что сумма вторых частных производных скалярной функции равняется нулю, являются, как известно, уравнениями Лапласа.
Таким образом, потенциал скорости и функция тока удовлетворяют уравнению Лапласа.
Это уравнение обладает следующим свойством. Если имеются функции, например, ..., ..., ... или ..., ..., ... такие, что каждая из них в отдельности удовлетворяет уравнению Лапласа, то ему будут удовлетворять также их линейные комбинации
...
...
где ..., ..., ..., ..., ... - постоянные.
Отсюда следует, что при наложении одного плоского потенциального потока на другой потенциальный поток полученное движение будет также потенциальным и его потенциал скорости и функция тока будут определяться путём суммирования значений потенциалов и функций тока слагаемых потоков.
Если построить два семейства кривых: кривые ... = К,
представляющие собой эквипотенциальные линии (т.е. линии равного
потенциала) и кривые ... = ... линии тока (здесь К и ... -
параметры), то эти семейства кривых образуют ортогональную сетку
плоского течения.
...
...
Это можно показать следующим образом. Вектор скорости ..., совпадающий с направлением касательной к линии тока, образует с осью абсцисс угол ..., тангенс которого с учётом выражения для скоростей равен
...
Из уравнения же эквипотенциальной линии следует
...
и отсюда тангенс угла ..., который образует касательная к эквипотенциальной линии с осью абсцисс, равен
...
Показать, что векторы ... взаимно перпендикулярны,
можно так
...
...
В результате перемножения получаем
...
Этому условию отвечают условные коэффициенты взаимно перпендикулярных линий.
Функция тока ... имеет физический смысл. Определим расход жидкости через сечение потока между двумя линиями тока ... и ... (т.е. расход струйки тока, ограниченной поверхностями, для которых названные линии тока являются образующими), размер сечения струйки по нормали к плоскости ... будем предполагать равным единице.
...
где ... - элемент живого сечения струйки, ... - ...,
... - единичный вектор по нормали к элементу ... ,
... и ... - границы сечения.
Обозначим через ... угол, образуемый вектором ... с осью ..., тогда ... и ... будут проекциями этого вектора на оси координат и, следовательно,
...
но ...
поэтому
...
...
Таким образом, разность значений функции тока на двух какихнибудь линиях тока равна секундному объёмному расходу сквозь сечение струйки тока, ограниченной соответствующими поверхностями тока.
Из сопоставления
...
следует
...
Из теории функций комплексного переменного следует, что если выполняются условия Коши-Римана, то линейная комбинация
...
функций ... и ... является функцией комплексного переменного ... , т.е.
...
Функция ... называется комплексным потенциалом, последний удовлетворяет уравнению Лапласа.
Найдём производную от комплексного потенциала
...
причём
...
...
где ... и ... - бесконечно малые величины высшего порядка. В пределе
...
Из этого выражения с учётом условий Коши-Римана следует
...
- это выражение называется комплексной скоростью.
Модуль комплексной скорости даёт величину скорости
...
Вводим комплексную скорость
...
сопряжённую скорость
...
Тогда
...
...
...
...
Рассмотрим
...
Тогда
... - циркуляция
... - расход.
2. Примеры плоских течений
1. Однородный равномерный поток.
Рассмотрим плоское прямолинейное и равномерное установившееся течение несжимаемой жидкости с одинаковой скоростью во всём потоке скоростью ... , параллельной оси ... . В этом случае
...
Отсюда
...
Линии равных потенциалов ... представляют собой пря-
мые, параллельные оси ординат.
Можно положить ... = 0 и ... = 0, тогда
...
Функцию тока найдём из условия
...
Сетка такого плоского течения изображается семейством ортогональных прямых, параллельных осям координат, а комплексный потенциал равен
...
Для прямолинейного течения сжимаемой невязкой жидкости со скоростью ..., наклонённой к оси абсцисс под углом ..., будем иметь
...
откуда
...
и
...
Комплексный потенциал такого течения будет иметь вид
...
...
2. Источник и сток
В качестве следующего примера рассмотрим течения, которые носят название источника и стока.
...
...
Пусть невязкая несжимаемая жидкость непрерывно возникает в некоторой точке Р и вытекает в неограниченное пространство с постоянным расходом ... и с одинаковой интенсивностью во всех направлениях.
Линии тока этого воображаемого источника будут представлять собой прямые, расходящиеся из точки Р. Это характеризует пространственный источник.
Если жидкость течёт из неограниченного пространства в точку, где непрерывно исчезает, течение называется пространственным стоком.
Рассмотрим плоский источник и проведём из него как из центра несколько концентрических окружностей различного радиуса. Уравнение неразрывности - уравнение постоянства расхода через любую концентрическую цилиндрическую поверхность, имеющую высоту, равную единице, в случае несжимаемой жидкости будем считать
...
Отсюда скорость
...
и, следовательно,
...
Откуда
...
Интегрируя
...
где С -константа интегрирования, которая может быть принята равной нулю, если полагать, что на круге ... = 1 функция ... = 0.
Для определения функции тока воспользуемся выражением
...
откуда полный дифференциал
...
После интегрирования имеем
...
... и С = 0 при ... = 0.
Следовательно
...
Потенциал скорости источника ...(...) может быть интерпретирован в виде семейства концентрических кругов различного радиуса,
а функция тока ...(...) в виде пучка прямых, исходящих из источника.
3. Вихрь
Рассмотрим комплексный потенциал
...
Пусть А - действительное число
...
...
...
Линии тока лучи ...
Изопотенциальные линии - окружности.
Найдём расход
...
...
...
...
... - комплексный потенциал источника или стока мощнос-
ти ...
Пусть А - чисто мнимое. В..., где В - действительное.
...
...
4. Вихреисточник
Рассмотрим случай комплексного коэффициента при логарифме ...
Такой комплексный потенциал можно рассматривать как результат наложения двух потоков
...
...
... - комплексный потенциал вихреисточника.
5. Диполь
Рассмотрим комплексный потенциал ...
...
...
Найдём семейство линий тока
...
...
Линии тока - окружности с центрами на оси ...
Изопотенциальные линии - окружности с центрами на оси ...
Диполь
...
где ... - момент диполя.
3. Бесциркуляционное обтекание цилиндра.
Наложим плоский параллельный оси ... однородный поток со скоростью .... и комплексным потенциалом
...
на скоростное поле диполя с комплексным потенциалом
...
...
...
... функции тока отделим ... часть
...
Нулевая линия тока
...
Решение распадается на две кривые
1) окружность ...
2) ось ... ... = 0.
Выберем произвольную до сих пор величину момента диполя равной
...
Получим нулевую линию тока в виде совокупности окружности радиуса а с центром в начале координат и оси ... .
Остальные линии тока
...
Движение происходит в двух областях - вне и внутри круга.
Течение вне круга можем рассматривать как обтекание круглого цилиндра а плоскопараллельным потоком, имеющим на бесконечности скорость ...
Такому потоку соответствует комплексный потенциал
...
Остановимся подробнее на внешнем течении. Найдём распределение скоростей в области ...
Найдём распределение скоростей на поверхности цилиндра
...
...
...
Найдём модуль скорости на контуре круга
...
Отсюда следует, что при плоском безвихревом обтекании кругового цилиндра идеальной жидкостью скорость распределена по закону синуса.
Максимальная скорость при ...