Цепи постоянного тока (стр. 3 из 5)
Рис 1.4
Закон Ома и законы Кирхгофа для электрических цепей постоянного тока
Закон Ома устанавливает связь между электрическим током I, протекающим в цепи, электрическим напряжением U.
При анализе работы электрических цепей применяются три формулировки этого закона.
Закон Ома для участка цепи :
Для пассивного участка цепи по закону Ома
, 
(1.1.13)Закон Ома для полной цепи:
Если пренебречь сопротивлением проводов в схеме замещения простой неразветвлённой цепи рис.1.3 (Ra=0), то ток в цепи:
(1.1.14)Закон Ома в обобщённой форме:
Закон Ома может быть записан и для участка цепи (например её любой ветви)содержащей источник ЭДС, с учётом известной разности потенциалов на концах этого участка рис.1.5.
Рис. 1.5
Для этого величина тока определяется выражением:
, (1.1.15 )В общем случае произвольного числа источников ЭДС и резисторов это выражение имеет вид:
, (1.1.16)Где ∑E – алгебраическая сумма ЭДС источников;
∑R – суммарное электрическое сопротивление цепи;
Первый Закон Кирхгофа
Первый и второй законы сформулированы Кирхгофом в 1845 году и являются основными законами определяющими решения электрической цепи. Первый закон Кирхгофа применяется к узлам электрической цепи. Он гласит: алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равно нулю:
(1.1.17)Для узла и электрической цепи рис. 1.6 этот закон даёт выражение:
, 
Рис.1.6
Первый закон описывает тот факт, что заряды одного знака не могут накапливаться в узле.
Второй закон Кирхгофа
Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи. Он формулируется следующим образом: алгебраическая сумма падения напряжения на всех сопротивлениях замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, входящих (включённых) в этот контур.
, (1.1.18)Где n-число резисторов в контуре,
m- число источников ЭДС в контуре.
При записи этого выражения (1.18) задаются произвольно направления обхода и все слагаемые Vk, Ek cовпадающие с направлением обхода берутся со знаком плюс, а не совпадающие – со знаком минус.
Для контура рис 1.7 это выражение будет иметь вид:
Рис. 1.7
Второй закон Кирхгофа описывает тот факт, что при обходе контура и возвращении в конечную точку, потенциал этой точки не мажет измениться, так - как иначе не соблюдался бы закон сохранения энергии.
11 Эквивалентные преобразования пассивных участков электрической цепи
В зависимости от назначении электрической цепи, её элементы могут соединяться между собой последовательно, параллельно, последовательно – параллельно (по смешанной схеме), треугольником или звездой.
Последовательным называют соединение при котором ток в каждом элементе один и тот же. При таком соединении “n” резисторов (рис. 1.8а) могут быть заменены одним резистором (рис. 1.8б) с эквивалентным сопротивлением Rэ, при котором ток I в обоих схемах будет одинаков (при равенстве напряжения U на входах схем).
а) б)
рис. 1.8
Для схемы рис. 1.8а)
,а для схемы рис. 1.8б)
Таким образом (из равенства напряжений на входах) получаем, что:
(1.1.19)Эквивалентное сопротивление последовательного соединения резисторов равно сумме сопротивлений этих резисторов.
Параллельным называют соединение при котором все участки цепи присоединяются к одной паре узлов, т.е. находятся под воздействием одного и того же напряжения. При таком соединении рис. 1.9а) “n” параллельных резисторов можно заменить одним эквивалентным рис. 1.9б) сопротивление RЭ которое обеспечивает равенство токов I.
В неразветвлённых участках цепи:
Рис.1.9.
Для схемы рис.1.9(а) по первому закону Кирхгофа можно записать:
Так как для каждой ветви по закону Ома
,то : 
, или 
(1.1.20)Поскольку
; 
; 
,… 
,То окончательно получаем:
(1.1.21)Эквивалентная проводимость параллельно соединённых резистивных элементов равна сумме проводимостей этих элементов.
Из (1.20) следует, что при параллельном соединении двух резисторов их общее (эквивалентное) сопротивление равно:
(1.1.22)Токи I1 и I2 двух параллельных ветвей выражаются через ток I в неразветвлённом участке цепи рис.1.10 формулами:
Рис.1.10
(1.1.23)Сопротивления (1.1.23) называют формулами и разброса токов. Они могут быть получены также из системы уравнений:
(1.1.24)Смешанное (последовательно-параллельное) соединение резистивных элементов приведено на рис.1.11
Рис.1.11
Из рис. 1.11 следует, что величина электрического сопротивления ,при котором ток в обоих схемах одинаков, равна :
(1.1.25)Соединение треугольником и звездой .
В некоторых электрических цепях встречаются соединения элементов, которые нельзя отнести ни к одному из выше рассмотренных. Пример такой цепи приведён на рис.1.22(а):
а) б)
рис.1.12
Резисторы Rab, Rbc и Rcd на рис.1.12(а) соединены треугольником, а на рис. 1.22 (б) резисторы Ra, Rb, Rc - соединены звездой. Схема рис.1.12(б) проще для расчёта,чем схема рис.1.12(а),поэтому следует получить выражение Ra, Rb, Rc через Rab, Rbc, Rca и наоборот.
При эквивалентной замене обоих схем, токи Ia, Iab, Icd равны и, следовательно, равны напряжения Uab, Ubc, Ucd.
Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для треугольника abc рис.1.12(а):
(1.1.26)Для узлов a и b в треугольнике по первому закону Кирхгофа:
, 
(1.1.27)Подставив (1.27) в (1.26),получим:
(1.1.28)Для звезды рис.1.12 (б):
(1.1.29)Из сравнения (1.28) с (1.29) следует, что:
; 
(1.1.30)По аналогии можно получить, что:
(1.1.31)Формулы (1.30) И (1.31) позволяют преобразовать треугольник сопротивлений в эквивалентную звезду сопротивлений.
Формулы обратного перехода звезды сопротивлений в треугольник сопротивлений можно получить заменив в формулах (1.30) и (1.31) все сопротивления проводимостями. При этом получим:
; 
; 
(1.1.32)Переходя к сопротивлениям, получим:
; 
; 
; (1.1.33)