Рис. 6.3. Число умирающих dxмужчин и женщин СССР,
1986—1987 гг.
На практике обычно мы не располагаем значениями чисел доживающих lx,для более дробных возрастных интервалов, чем год. Поэтому для средних возрастов, в которых число доживающих изменяется почти прямолинейно, число живущих рассчитывается как обычная средняя арифметическая величина из двух чисел доживающих, на начало и конец возрастного интервала, т. е.:
(6.5.6) На тех же участках кривой дожития, где ее кривизна значительна, число живущих определяют по формуле, учитывающей эту кривизну:
(6.5.7)где dx — число умирающих в таблицах смертности; тх — возрастные коэффициенты смертности того же населения, для которого строились таблицы смертности.
Обычно по формуле (6.5.7) рассчитывают число живущих для всех участков кривой дожития, кроме самых первых детских возрастов, для которых используются специальные формулы (мы познакомимся с ними позднее, при построении краткой таблицы смертности).
Средняя ожидаемая продолжительность жизни. Число живущих можно трактовать также и как число человеко-лет, прожитых всем поколением родившихся в интервале возраста «x». Тогда, следовательно,
Рис. 6.4. Линии дожития lxмужского и женского населения СССР, 1926—1927, 1958—1959, 1986—1987 гг.
поколение родившихся l0 проживет на первом году жизни (т.е. в возрасте 0 лет) L0 лет, на 2-м году — Liлет, на 3-м — l2 лет и т.д., а всего:
(6.5.8)где Т0 — число человеко-лет, которое предстоит прожить данному поколению родившихся.
Если эту сумму человеко-лет разделить на первоначальную численность поколения, т.е. на число родившихся l0, то получим очень важный социальный показатель, который называется показателем средней ожидаемой продолжительности жизни.
Средняя ожидаемая продолжительность предстоящей жизни[123] — это число лет, которое проживет один человек в среднем из данного поколения родившихся при условии, что на всем протяжении жизни этого поколения смертность в каждой возрастной группе будет оставаться неизменной на уровне расчетного периода.
Продолжительность предстоящей жизни рассчитывается для новорожденных (или иначе говорят — ожидаемая продолжительность жизни при рождении) идля достигших некоторого возраста «х».
В виде формул расчет обеих средних можно представить следующим образом.
Для новорожденных:
(6.5.9)Поскольку при расчете средней продолжительности предстоящей жизни для новорожденных основание таблицы смертности l0= 1, его можно опустить, и окончательно этот показатель выражается в виде суммы чисел живущих в жизненном интервале от рождения поколения до его полного исчезновения.
Для людей, достигших определенного возраста «x», расчет отличается лишь тем, что число доживающих до возраста «х», в знаменателе дроби уже меньше 1 и его опускать нельзя.
(6.5.10)6.6. Расчет кратких таблиц смертности
Для анализа состояния и тенденций уровня смертности чаще всего бывает достаточным использование кратких таблиц смертности, т.е. по пятилетним возрастным интервалам. Для их построения необходимо располагать пятилетними возрастными коэффициентами смертности или данными для расчета таких коэффициентов. Обычно достаточно рассчитать лишь одну колонку таблиц, lx , qxили px , а все остальные колонки, кроме Lx , рассчитываются на основе взаимосвязей показателей таблиц смертности, представленных выше.
Для перехода от возрастных коэффициентов смертности тхк вероятностям смерти qxиспользуется обычно одна из двух формул:
(6.5.11) 
(6.5.12)где qx — вероятность смерти в возрасте «х»; тх — возрастной коэффициент смертности; n — длина возрастного интервала.
Все остальные формулы показаны выше.
Построим для примера краткие таблицы смертности мужского населения России за 1995 г. и рассмотрим алгоритм расчета (см. таблицу 6.5).
1 . Из двух методов расчета по формулам (6.5.10) и (6.5.1 1) выберем второй метод — по показательной функции, потому, что она лучше, чем первая, учитывает кривизну изменения чисел доживающих lx. При этом вместо колонки вероятностей смерти qxбудем рассчитывать колонку ее дополнения до единицы, т.е. вероятность дожития до следующего возраста, px. Таким путем мы избежим большого числа вычитаний из единицы.
2. Но сначала нужно возрастные коэффициенты смертности разделить на 1000 (т.е. перевести их из промилле в доли единицы) и перемножить на длину соответствующих возрастных интервалов. Для первого возрастного интервала 0 лет множитель будет равен 1, для второго — 1 — 4 года — 4, для остальных интервалов — 5.
3. Затем, возводя основание натурального логарифма «е» в отрицательную степень, равную произведению возрастного коэффициента смертности на длину возрастного интервала, находим значения колонки вероятностей дожития px (колонка 3 в таблице 6.5).
4. Следующая колонка — чисел доживающих «lx». Первое значение числа доживающих для возраста 0 лет — основание таблицы смертности 100000 (константа, которую всегда нужно помнить). Умножив 100000 на число доживающих p0, получаем число доживающих l1, умножив l1 на p1, получаем l2, и так — все значения колонки чисел доживающих до возраста «85 лет и старше».
5. Затем рассчитываем значения колонки dxкак разность между соседними числами доживающих, т.е. 100000 – l0= d0; l1– l2 = d1, и т.д.
6. Далее рассчитываем числа живущих. Для всех возрастных интервалов, кроме первых двух ранних детских, числа живущих рассчитываются по формуле Lx= dx / тх. Для первых двух возрастных интервалов — 0 и1—4 — числа живущих определяются иначе ввиду резкой кривизны изменения линии дожития на этом участке. Так число живущих в возрасте 0 лет определяется уравнением L0=l0 - 2 / 3dx . Число живущих в следующем детском возрастном интервале 1—4 года определяется из следующего уравнения 4L1 = 1,704l1 + 2,533l5- 0,237l10.Число живущих в так называемом открытом возрастном интервале — 85 лет и старше — определяется по формуле L85+= l85 / m85+.Поскольку все дожившие до 85 лет раньше или позже умрут после этого возраста, d85+ = l85.
Таблица 6.5
Расчет таблиц смертности мужского населения
России в 1995 году
Таблицы 6.5 (продолжение)
