Знаходження похідної функції (стр. 2 из 6)

Наслідки

а) Похідна різниці дорівнює різниці похідних.

Нехай у(х) = f(x) - g(x), тоді f(x) = у(х) + g(x) і

, звідси .

б) Похідна суми декількох функцій дорівнює сумі похідних цих фукцій, тобто

.

Приклад. Знайдіть похідну функцій

а)

;

б)

;

в)

.

Розв’язання а)

;

б)

.

в)

.

Відповідь: а)

; б) в) = .

Виконання вправ

1. Знайдіть похідні функцій:

а) у = х³ + х – х⁴; б)

;

в)

; г) .

Відповідь: а)

; б)

; в)

;

г)

.

2. Знайдіть значення похідної функції f(x) в точці х₀:

а)

;

б)

;

в)

.

Відповідь: а) 1; б)

; в)-1.

3. При яких значеннях х значення похідної функції f(x) дорівнює 0:

а)

; б)

; в) .

Відповідь: а)

; б)

; в)

.

ІІІ. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну добутку

Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхній добуток також – диференційована функція в цій точці і

, або коротко говорять: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків кожної функції на похідну другої функції

Доведення. Розглянемо функцію

. Зафіксуємо х₀ і надамо аргументу приросту , тоді

1)

Оскільки

, , то

.

2)

.

Отже,

.

Наслідки

а) Постійний множник можна винести за знак похідної:

.

Дійсно,

.

б) Похідна добутку декількох множників дорівнює сумі добутків похідної кожного із них на всі останні, наприклад:

.

Приклад. Знайдіть похідні функцій:

а)

;

б)

;

в)

.

Розв’язування

а)

;

б)

;

в)

.

Виконання вправ.

1. Знайдіть похідну функцій:

а)

; б) ;

в)

; г)

.

Відповідь: а) 6х-5; б)

;

в)

; г)

.

2. Знайдіть похідні функцій:

а)

; б)

;

в)

; г)

.

Відповідь: а)

; б)

;

в)

; г)

.

3. Знайдіть похідні функцій:

а)

; б)

.

Відповідь: а)

; б)

.

IV. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну частки функцій

Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х і g(x)

, то функція диференційована в цій точці і .

Доведення

Формулу похідної частки можна вивести, скориставшись означенням похідної. Проте це зробити можна простіше.

Нехай

, тоді f(x)=у(х) . Знайдемо похідну функції f(x), скориставшись теоремою про похідну добутку, . Виразимо з цієї формули

і підставимо замість у(х) значення

, тоді будемо мати:

.

Отже,

.

Приклад: Знайдіть похідні функцій

а)

; б)

.