Знаходження похідної функції (стр. 5 из 6)

Перш ніж знаходити похідну показниковїх функції, зробимо два важливих зауваження. Графік функції у=а^х проходить через точку (0; 1). Нехай

– величина кута , утвореного дотичною до графіка функції у = а^х в точці (0; 1)з додатним напрямом осі абсцис. Величина цього кута залежить від значення основи а. Наприклад, обчислено, що при а = 2 величина кута

приблизно дорівнює 34⁰(рис.29), а при а = 2,

=47⁰.

у у = е^х якщо основа а показникової функції у = а^х зростає від 2 до 3, то величина кута

зростає і приймає значення від 34⁰ до 47⁰. Отже, існує таке значення

, при якому дотична, проведена до графіка функції у = а^х в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі ОХ кут 45⁰ (рис.31). Таке значення

прийнято позначати буквою е, е – число ірраціональне, е = 2,718281828459...

Таким чином, дотична до графіка функції у = е^х в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі абсцис, який дорівнює 45⁰.

У відповідності з геометричним змістом похідної даний висновок означає, що значення похідної функції

в точці х₀ дорівнює

=1. Отже,

Знайдемо тепер формулу похідної функції

Нехай аргумент х₀ одержав приріст

, тоді:

Таким чином, похідна функції е^х дорівнює самій функції:

Знайдемо похідну функції

, скориставшись основною логарифмічною тотожністю та правилом знаходження похідної складеної функції:

Отже,

Похідна показникової функції дорівнює добутку цієї функції на натуральний логарифм її основи.

Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:

а) у = 5^х; б) у = е^3-2х; в)

; г)

Розв’язання

а)

;

б)

;

в)

;

г)

Виконання вправ.

№ 2 (2, 4, 6, 8, 10, 12), №2 (20, 22, 24, 26, 28, 30) із підручника (розділ Х).

ІІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну логарифмічної функції

Розглянемо функцію

. За основною логарифмічною тотожністю:

для всіх додатних х.

Диференціюючи обидві частини цієї рівності, одержимо:

, або

Звідси

Отже,

Знайдемо похідну функції

. Так як

, то

Отже,

Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:

а)

; б)

;

в)

; г)

а)

;

б)

;

в)

;

г)

Виконання вправ.

№ 2 (14, 16, 18, 32, 34, 36, 38, 40, 42), із підручника (розділ Х).

IV. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну степеневої функції

, де

Ми довели, що

для

Розглянемо функцію

, де

Знайдемо похідну цієї функції:

Отже,

для всіх

ТЕМА УРОКУ: Розв’язування вправ

Мета уроку: Формування умінь учнів знаходити похідні функцій.

І. Перевірка домашнього завдання

1 перевірити правильність виконання домашніх вправ шляхом порівняння відповідей.

№ 2. 3) -е^-х; 5)

; 7)

; 9)

; 11)

13)

; 15)

; 17)

№ 8. 1) 100х⁹⁹; 3)

; 5)

; 7) -20х¹⁹; 9)

;

11)

2. Усне розв’язування вправ.

Знайдіть похідні функцій, поданих в таблиці.

	1	2	3	4	5
1
2
3
4
5

ІІ. Формування умінь знаходити похідні функцій