Анализ погрешностей волоконно-оптического гироскопа (стр. 10 из 26)
(2.1)Здесь
- волновое число в свободном пространстве;
- профиль того же световода без неоднородностей.Величину
(2.2)называют вынужденной плотностью тока, обусловленной неоднородностью. Источник вынужденного тока (2.2) существует только внутри области неоднородности и целиком определен при условии известности полного электрического поля Е. Если световод является слабонаправляющим и n » n, то поля мод являются приблизительно поперечными и в первом приближении можно считать, что E = Ex , а
(2.3)Индекс x означает поперечную компоненту поля, а n1 - показатель преломления сердцевины волокна, иначе n(a)= n1 при а<r, где r - радиус сердцевины волокна.
Таким образом из (2.2) и (2.3) имеем:
(2.4)В этом приближении не учтены все поляризационные эффекты, обусловленные неоднородностями, поскольку в рамках приближения слабонаправляющего световода поперечные поля всех мод ортогональны друг другу. В частности, поляризованная вдоль оси x чётная основная мода не может быть возбуждена нечётной или поляризованной вдоль оси y основной модой.
Подставив в (2.4) выражение для электрического поля в гауссовом приближении рассмотренном в [1], получим следующее выражение для плотности тока, если на неоднородность в круглом световоде падает основная мода, поляризованная вдоль оси x :
, (2.5)где
- фундаментальное решение скалярного волнового уравнения для поля основной моды, определяемой в зависимости от профиля показателя преломления .Вследствие того что, волоконные световоды, используемые в волоконной гироскопии, являются слабонаправляющими, т.е. относительная разность между максимальным и минимальным значениями профиля показателя преломления n ( r ) мала, векторы Е и H аппроксимируются решениями скалярного волнового уравнения. Постоянная распространения b основной моды, направляемой по световоду, ограничивается интервалом между двумя экстремумами, которые определяются значениями b для плоских волн. В бесконечных средах с показателями преломления n1 и n2 :
, (2.6)где n1 , n2 - максимальное и минимальное значения показателя преломления n ( r );
- длина волны в вакууме.В силу слабой канализации волн в световодах, т.е. n1 »n2 из (2.6) следует b » 2 p n / l, что совпадает с постоянной распространения плоской волны в направлении Z в бесконечной среде с показателем преломления n2 £ n £ n1 .
Таким образом, основная мода волоконного световода является квазипоперечной электромагнитной (Т) волной. В простейшем случае - это волна, однородно поляризованная только в одном направлении в отличии от мод высших порядков. Если обозначить направление поляризации через Х, поле в световоде можно представить в виде
, (2.7)
где
- магнитная проницаемость среды;
= 
- диэлектрическая проницаемость среды;
- диэлектрическая проницаемость вакуума.Здесь неявно подразумеваем временную зависимость
. Компоненты поля Ey , Ez , Hx , Hz не учитываются поскольку они пренебрежимо малы, Y описывает пространственное изменение поля в плоскости, перпендикулярной оси световода. Следует отметить, что отражение плоской волны от границы раздела диэлектрических сред с близкими параметрами практически не чувствительно к поляризации падающей волны. Соответственно, и пространственное изменение поля Y должно быть нечувствительно к поляризационным эффектам, поэтому Y - решение скалярного волнового уравнения, т.е.
, (2.8)где:
n ( r ) - профиль показателя преломления; l - длина волны в вакууме.
Таким образом, основная мода описывается решением уравнения (2.8), соответствующим наибольшему b и
, не зависящей от угла 
. Для регулярного световода n ( r ) не зависит от длины, в случае нерегулярного световода n=n(x,y,z).В практически интересных случаях применяют в одномодовых световодах оптические волокна как со ступенчатым, так и градиентным профилем. При этом наибольшее распространение получили оптические волокна с гауссовым и ступенчатым профилями. Эти волокна целесообразно применять и в волоконной гироскопии поэтому остановимся на их анализе подробнее.
При изготовлении световодов в следствии диффузии границы между оболочкой и сердцевиной реальные профили могут отличаться как от ступенчатого, так и от гауссова, занимая некоторое промежуточное положение (сглаженный ступенчатый профиль). При этом профиль показателя преломления представляют в виде :
(2.9)где
- параметр высоты профиля.Численные решения волнового уравнения для ступенчатого и степенного профилей волокна [2] показывают, что форма Y (r) примерно гауссова. В соответствии с этими исследованиями поле моды HE11 можно представить в виде:
(2.10)где r0 - размер светового пятна, определенный вариационным методом в [2].
Для решения волнового уравнения умножим его на
и воспользуемся тождеством:
(2.11)После интегрирования в пределах от 0 до ¥ получаем
(2.12)Кроме (2.12) появляется дополнительный член
,который вычисляется при значениях r = 0 и ¥. Этот член равен нулю, поскольку
конечно при r = 0 и экспоненциально стремиться к нулю при r ® ¥.Размер пятна r0 выбирается из условия обеспечения наибольшего b, которое соответствует основной моде. Подставляя приближенное выражение (2.10) в (2.12), можно определить r0 из условия db2/ dr0 = 0. Приближение для постоянной распространения b получается далее подстановкой найденного r0 в выражение (2.12). Таким образом, зная r0 и b можно полностью характеризовать поле с помощью формул (2.7) и (2.10). Используем полученную методику для определения параметров r0 и b для профилей применяемых в волокнах для оптической гироскопии.
В случае гауссова профиля показателя преломления:
, (2.13)где
.Таким образом, n(r) с ростом r от 0 до ¥ уменьшается плавно от n1 до n2. Поскольку чёткой границы между сердцевиной и оболочкой нет, то форму профиля определяет радиус сердцевины a. Такая форма профиля показателя преломления представляет практический интерес, так как является хорошим приближением реального случая, когда в процессе изготовления волоконных световодов происходит взаимная диффузия материала сердцевины и оболочки.
Подставляя (2.13) в (2.10) и (2.12), из условия db2/dr0 = 0 находим величину
(2.14)Выражение (2.14) имеет физический смысл только при V >>1 (r0 - положительно), однако это не уменьшает его практической ценности, так как при V £ 1 вблизи оси световода распространяется лишь малая доля мощности основной моды. Подставляя r0 в (2.12) получаем выражение для
, (2.15)где
(2.16)Размер пятна r0 и постоянная распространения b полностью характеризуют поле основной моды, а следовательно, и передаточные свойства одномодовых световодов.