Понятно, что в обучении математике следует развивать у школьников как оперативную, так и долговременную память; обучать их запоминанию наиболее существенного, общих методов и приёмов решения задач; формировать умение систематизировать свои знания и опыт.
Организованность памяти даёт возможность соблюдать принцип экономии в мышлении. Поэтому нецелесообразно загружать память учащихся ненужной или незначительной информацией, не накапливать у них опыт учебной деятельности, бесполезной для дальнейшего. Так, например, до недавнего времени школьники «разучивали» решение типовых текстовых задач, не имеющих большого познавательного значения; это весьма отрицательно сказывалось и на развитии их памяти.
В процессе обучения математике развитию и укреплению памяти школьников способствуют:
а) мотивация изучения;
б) составление плана учебного материала, подлежащего запоминанию;
в) широкое использование в процессе запоминания сравнения, аналогии, классификации.
Все перечисленные качества математического мышления сильно взаимосвязаны и проявляются в учебной математической деятельности школьников не изолированно.
Специфика математического мышления проявляется не только в особых качествах мышления, но и в том, что для них характерны особые формы мышления: конкретное, абстрактное, функциональное, интуитивное мышление.
Конкретное (предметное) мышление – это мышление в тесном взаимодействии с конкретной моделью объекта. Различаются две формы конкретного мышления:
1) неоперативное (наблюдение, чувственное восприятие);
2) оперативное (непосредственные действия с конкретной моделью объекта).
Неоперативное, конкретное мышление чаще всего проявляется у дошкольников и младших школьников, которые мыслят лишь наглядными образами, воспринимая мир лишь на уровне представлений. То, что школьники на этом уровне развития не владеют понятиями, ярко иллюстрируется опытами психологов школы Ж. Пиаже. Рассмотрим один из них.
Детям демонстрируются два сосуда одинаковой формы и размеров, содержащие поровну тёмную жидкость. Дети легко устанавливают равенство жидкостей в первом и втором сосуде. Далее, на виду у детей жидкость из одного сосуда переливают в другой более высокий и узкий и предлагают сравнить количество жидкости в этом сосуде и оставшемся нетронутым. Дети утверждают, что в новом сосуде жидкости стало больше.
Дело в том, что неоперативное мышление детей ещё непосредственно и полностью подчинено их восприятию и потому они пока не могут отвлечься, абстрагироваться с помощью понятий от некоторых наиболее бросающихся в глаза свойств рассматриваемого предмета. В частности, думая о первом сосуде, дети смотрят на новый сосуд и им представляется, что жидкость в нём занимает больше места, чем раньше, так как уровень жидкости стал выше. Их мышление, протекающее в форме наглядных образов, приводит к выводу, следуя за восприятием, что жидкость в сосудах стало не поровну
Сам Пиаже объясняет ошибочные ответы детей отсутствием у них способностей к особым мыслительным операциям (постоянство целого, устойчивое отношение части к целому), без формирования которых невозможно овладение понятием натурального числа.
Вместе с тем Ж. Пиаже утверждает, что оперативное конкретное мышление является более действенным для подготовки детей к овладению абстрактными понятиями. Самостоятельная мыслительная деятельность выделяется именно по мере развития практической деятельности, лежащей в основе развивающейся психики ребёнка.
Конкретное мышление играет большую роль в образовании абстрактных понятий, в конструировании особых свойств математического мышления, развитие которых способствует познанию математических абстракций.
Абстрактное мышление тесно связано с мыслительной операцией, называемой абстрагированием. Абстрагирование имеет двойственный характер: негативный (отвлекаются от некоторых сторон или свойств изучаемого объекта) и позитивной (выделяют определённые стороны или свойства этого же объекта, подлежащие изучению).
Поэтому, «абстрактным мышлением называют мышление, которое характеризуется умением мысленно отвлечься от конкретного содержания изучаемого объекта в пользу его общих свойств, подлежащих изучению»[1]
Абстрактное мышление может проявляться в процессе изучения математике:
а) в явном виде. Например, рассматривая в курсе геометрии понятие геометрического тела, мы отвлекаемся от всех свойств реальных тел, кроме формы, размеров;
б) в неявном виде. Например, при счёте предметов конкретного множества мы неявно отвлекаемся от свойств каждого отдельного предмета, полагая, что все предметы одинаковы.
Абстрактное мышление можно подразделить на:
аналитическое мышление;
логическое мышление;
пространственное мышление.
Аналитическое мышление характеризуется чёткостью отдельных этапов в познании, полным осознанием, как его содержания, так и применяемых операций. Аналитическое мышление не выступает изолированно от других видов абстрактного мышления. Этот вид мышления тесно связан с мыслительной операцией анализа.
Логическое мышление характеризуется умением выводить следствия из данных предпосылок, умением вычленять частные случаи из некоторого общего положения, умением теоретически предсказывать конкретные результаты. Развитию логического мышления способствует решение логических нестандартных задач.
Пространственное мышление характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические конструкции изучаемых объектов и выполнять над ними операции, соответствующие тем, которые должны были быть выполнены над самими объектами.
С этим типом мышления тесно связано способность учащихся выразить при помощи схемы условие или решением текстовой задачи.
«Интуиция - особый способ познания, характеризующийся непосредственным постижением истины. К области интуиции принято относить внезапно найденное решение задачи, долго не поддававшейся логическим усилиям».
Функциональное мышление, характеризуемое осознанием динамики общих и частных соотношений между математическими объектами или их свойствами, ярко проявляется в связи с изучением функции. Сюда относится:
представление математических объектов в движении, изменении;
повышенное внимание к прикладным аспектам математики, к причинно-следственным связям.
В психологии до настоящего времени широко распространены представления о возрастных особенностях математического мышления школьника, исходящие из ранних исследований Ж. Пиаже. По мнению Пиаже, ребёнок до 12 лет мыслит наглядно-конкретным образом и только к 12 годам становится способным к абстрактному мышлению. Но исследования Д. Б. Эльконина, В. В. Давыдова, Л. В. Занкова, А. В. Скрипченко и других показали, что при изменении содержания и методики преподавания возможны серьёзные сдвиги особенностей развития математического мышления в более младший возраст.
Рассмотрим возрастные особенности математического мышления учащихся начальных классов.
Под влиянием обучения в школе у детей этого возраста возникает способность осматривать в конкретной математической задаче её формальную структуру. Учеников уже во втором классе начинают интересовать в задаче не просто отдельные величины, а именно отношения величин. Если менее способные ученики воспринимают отдельные, конкретные элементы задачи, как не связанные друг с другом, и сразу после чтения задачи начинают производить различные операции со всеми данными числами, не задумываясь над смыслом задачи и не пытаясь вычленить основные отношения, то у более способных проявляется своеобразная потребность при восприятии условий задачи вскрывать эти отношения, связывать отдельные показатели и величины. Сильные ученики часто не придают большого значения тому, о каких конкретных предметах идёт речь в задаче. Они порой даже путают названия предметов, о которых говорится в задаче. Менее способные ученики держатся за точное название предметов. В задаче они видят не какие-то математические отношения, а лишь конкретный перечень предметов, с которыми нужно что-то делать. Менее способные начинают составлять задачи предметного содержания («буду составлять задачу про яблоки»), а потом уж с трудом вводим отношения; более способные начинают с отношений («буду составлять задачу « больше – меньше »»), а потом уж «опредмечивали их».
Вычленяя отношения, более способные и многие средние учащиеся начинают дифференцировать данные – выделять именно те, которые необходимы для решения, осознавать, каких величин недостаёт, какие являются лишними.
Способность к обобщению математического материала как способность улавливать общее в задачах и соответственно видеть разное в общем начинает складываться раньше всех других компонентов математического мышления. В младшем школьном возрасте наблюдается такой вид обобщения - движения от частного к неизвестному общему, то есть умение подвести частный случай под общее правило.
Гибкость мыслительных процессов в ходе поисков других решений учащиеся демонстрируют уже в 3 классе. Но в этом возрасте есть учащиеся, менее способные к математике, которые с трудом переключаются с одной умственной операции на другую, они обычно очень скованы первоначально найденным способом решения, склонны к шаблонным и трафаретным ходам мысли. В подобных случаях дело заключается в том, что трудно переключиться с простого на более сложный способ решения. Зачастую трудно переключиться и с более трудного на более лёгкий способ, если первый является привычным, знакомым, а второй – новым и незнакомым. Один способ решения тормозится с другим. У более способных к математике учеников ломка и перестройка сложившихся способов мышления совершаются более быстро.
В младшем школьном возрасте уже проявляется тенденция к оценке ряда возможных способов решения и выбору из них наиболее ясного, простого и экономного, наиболее рационального решения. Учащиеся оценивают различные решения как «более простое» и «более сложное», «лучшее» и «худшее» исходя из количества производимых операций.