Линейные дифференциальные уравнения (стр. 3 из 11)

или, выражая при помощи матрицы Ф,

где с – вектор-столбец с элементами с₁ , с₂ , …, с_n . Это соотношение при каждом

есть система n линейных уравнений с неизвестными с₁ , с₂ , …, с_n , имеющая единственное решение для каждого φ(τ). Поэтому det Ф(τ) 0 и, по сделанному выше замечанию, det Ф(t) 0 для каждого . Заметим, что это доказывает линейную независимость векторов-столбцов фундаментальной матрицы для каждого .

Наоборот, пусть Ф – матрица-решение уравнения (2.2) и пусть det Ф(t)

0 для каждого . Таким образом, векторы-столбцы матрицы Ф линейно независимы для каждого .

Матрица из векторов-столбцов может иметь определитель, тождественно равный нулю на интервале I, даже при линейно независимых векторах.

Например, пусть

для каждого действительного интервала I. Содержание теоремы 2.2 состоит в том, что этого не может случиться для векторов, которые являются решениями системы (ЛО).

Теорема 2.3. Если Ф – фундаментальная матрица для системы (ЛО) и С – (комплексная) постоянная неособая матрица, то ФС также является фундаментальной матрицей системы (ЛО). Каждая фундаментальная матрица системы (ЛО) может быть представлена в такой форме при помощи некоторой неособой матрицы С.

Доказательство. Из (2.1), если Ф – фундаментальная матрица, вытекает, что

,

Или

и, следовательно, ФС есть матрица-решение уравнения (2.2). Так как

det (ФС)=( det Ф)( det С)

0,

то ФС – фундаментальная матрица.

Наоборот, если Ф₁ и Ф₂ – две фундаментальные матрицы , то Ф₂ = Ф₁С, где С – некоторая постоянная неособая матрица. Для доказательства этого положим Ф₁^-1Ф₂ = Ψ(t). Тогда Ф₂ = Ф₁Ψ. Дифференцируя это равенство, получим, что

. Отсюда и из (2.1) следует, что , или . Поэтому и, следовательно, матрица ψ = С постоянна. Она неособая, так как этим свойством обладают Ф₁ и Ф₂.

Замечания. Если предполагать, что Ф₂ – решение, то матрица С может быть особой.

Заметим, что если Ф – фундаментальная матрица системы (ЛО) и С – постоянная неособая матрица, то СФ, вообще говоря, не является фундаментальной матрицей.

Две различные однородные системы не могут иметь одну и ту же фундаментальную матрицу, ибо из уравнения (ЛО) следует, что

Поэтому матрица Ф определяет матрицу А однозначно, хотя обратное утверждение и неверно.

Сопряженные системы. Если Ф - фундаментальная матрица для системы (ЛО), то

или, переходя к сопряженным матрицам,

Поэтому

- фундаментальная матрица для сопряженной системы (ЛО) и матричное уравнение

. (2.3)

Система (2.3) называется сопряженной для системы (ЛО) и матричное уравнение

(2.4)

называется сопряженным для уравнения (2.2.). Это соответствие симметрично, ибо (ЛО) и (2.2) сопряжены (2.3) и (2.4) соответственно.

Теорема 2.4. Если Ф - фундаментальная матрица для системы (ЛО), то Ψ есть фундаментальная матрица для сопряженной системы (2.3) в том и только в том случае, когда

(2.5)

где С – постоянная неособая матрица.

Доказательство. Если Ф - фундаментальная матрица для системы (ЛО) и Ψ есть фундаментальная матрица системы (2.3), то так как

- фундаментальная матрица частного вида уравнения (2.3),

где D – некоторая постоянная неособая матрица (теорема 2.3). Поэтому

и можно принять С = D^*.

Наоборот, если Ф - фундаментальная матрица для сопряженной системы (ЛО) и удовлетворяет (2.5), то

или и, следовательно, в силу теоремы 2.3 Ψ - фундаментальная матрица сопряженной системы (2.3).

Если А = - А^*, то

, будучи фундаментальной матрицей для системы (2.3), является также фундаментальной матрицей для системы (ЛО). Поэтому в силу теоремы 2.3 или

(2.6)

где С – постоянная неособая матрица. Из уравнения (2.6), в частности, следует, что эвклидова длина каждого вектора-решения системы (ЛО) постоянна.

Понижение порядка однородной системы. Если известно m (0<m<n) линейно зависимых решений системы (ЛО), то можно понизить порядок системы на m единиц, и следовательно, дело сведется к решению линейной системы порядка n-m.

Предположим, что φ₁ , φ₂ , …, φ_m - m линейно независимых векторов, которые являются решениями системы (ЛО) на интервале I. Пусть вектор φ_j имеет компоненты φ_ij (i = 1, …, n). Тогда ранг прямоугольной матрицы с элементами φ_ij (i = 1, …, n; j = 1, …, m) для каждого

равен m, так как ее столбцы линейно независимы. Это означает, что для каждого в этой матрице найдется отличный от нуля определитель порядка m. Выберем некоторое и предположим для определенности, что в точке t₀ отличен от нуля определитель матрицы Ф_m с элементами φ_ij (i = 1, …, m; j = 1, …, m). Тогда в силу непрерывной зависимости определителя от его элементов φ_ij и непрерывности функций φ_ij в окрестности t₀ получим, что det Ф_m(t) 0 для t из некоторого интервала , содержащего t₀. Пусть - один из таких интервалов; процесс понижения проведем для . (Идея этого процесса является модификацией метода вариации произвольных постоянных.)

Пусть матрица U имеет своими первыми m столбцами векторы φ₁ , φ₂ , …, φ_mи своими n-m столбцами – векторы е_m+1, …, e_n, где e_j – вектор-столбец со всеми нулевыми элементами, кроме j-го, который равен 1. Очевидно, что U – неособая матрица на

. Сделаем в (ЛО) подстановку

x = Uy. (2.7)

Заметим, что решениям х = φ_j(j = 1, …, m) при подстановке (2.7) соответствуют решения y = e_j (j = 1, …, m). Поэтому подстановку (2.7) можно рассматривать как систему относительно y, которая должна иметь решения e_j (j = 1, …, m).

Подставляя (2.7) в систему (ЛО), получаем

или в координатах,

(i = 1, …, m),

(i = m+1, …, n).

Выражая то обстоятельство, что векторы φ_j с компонентами φ_ij являются решениями системы (ЛО), получаем

(i = 1, …, n; j = 1, …, m),

откуда следует, что

(i = 1, …, m),

(i = m+1, …, n). (2.8)

Так как det Ф_m

0, то из первых m уравнений (2.8) можно выразить производные (i = 1, …, m) через φ_ij, a_ik и y_k(k = m+1, …, n), и затем эти значения подставить в остальные формулы (2.8). Мы получим совокупность уравнений первого порядка, которым удовлетворяют функции y_i (i = m+1, …, n) вида