Линейные дифференциальные уравнения (стр. 5 из 11)
. (4.1)Если n = 1, то (4.1) имеет очевидное решение еtА, и решение, которое при t = τ равно ξ , имеет вид е(t-τ)Аξ . Оказывается, что решение имеет эту форму и в том случае, когда х, ξ являются векторами произвольной конечной размерности и А – квадратная матрица порядка n.
Теорема 4.1. Фундаментальная матрица Ф системы (4.1) дается формулой
Ф(t) = еtА (|t| <
), (4.2)и решение φ системы (4.1), удовлетворяющее условию
φ(τ) = ξ (|τ | <
, | ξ | < ),имеет вид
φ(t) = е(t-τ)Аξ (|t| <
). (4.3)Доказательство. Так как е(t-Δt)А = еtА еΔtА, то из определения производной легко получаем, что
Поэтому Ф(t) = еtА есть решение системы (4.1). Так как Ф(0) = Е, то из (1.8) следует, что det Ф(t) = еtspА . Итак, Ф – фундаментальная матрица. Теперь формула (4.3) очевидна.
Замечание. Заметим, что выражение
не обязано быть решением системы 
, если матрицы А(t) и 
не коммутируют. Они коммутируют, когда матрица А(t) либо постоянная, либо диагональная.Интересно исследовать структуру фундаментальной матрицы (4.2). пусть J – каноническая форма матрицы А, указанная в теореме 1.1, и предположим, что Р – неособая постоянная матрица, такая, что АР = PJ.
Тогда
(4.4)и J имеет вид
(4.5)где J0 – диагональная матрица с элементами λ1, λ2,…, λq и
(i = 1, …, s). (4.6)Далее,
(4.7)и легкое вычисление показывает, что
(4.8)Так как
, то 
. Таким образом, 
(4.9)где
- квадратная матрица порядка ri (n = q + r1 + … + rs). Поэтому, если известна каноническая форма (4.5), (4.6) матрицы А, то фундаментальная матрица еtА системы (4.1) дается в явном виде формулой (4.4), в которой еtJ может быть вычислена из (4.7), (4.8), (4.9).Другая фундаментальная матрица системы (4.1) такова:
Ψ(t) = еtАP = P еtJ. (4.10)
Пусть матрица Р имеет своими столбцами векторы р1, …, рn. Столбцы матрицы Ψ. Которые мы обозначаем через ψ1 , ψ 2 , …, ψn , образуют совокупность n линейно независимых решений системы (4.1) и из (4.10) и вида матрицы J получаем
, 
, …, 
, 
, 
, 
, 
, 
.Так как АР = PJ, то векторы р1, …, рn удовлетворяют соотношениям
Ар1 = λ1р1,…, Арq= λqрq,
Арq+1 = λq+1рq+1,
Арq+2 = рq+1 + λq+1рq+2,
Арn-rs+1 = λq+sрn-rs+1,
Арn-rs+2 = рn-rs+1+λq+sрn-rs+2,
Арn= рn-1+λq+sрn.
Решения ψj выражаются посредством независимых векторов р1, …, рn из предыдущей последовательности уравнений.
Формула вариации постоянных (3.1) в применении к неоднородной системе
+b(t) 
, (4.11)где А – постоянная матрица, дает для решения φ системы (4.11), удовлетворяющего условию φ(τ) = 0,
, выражение 
.Решение φ системы (4.11), удовлетворяющее условию φ(τ) = ξ , где
, | ξ |< , имеет вид 
.1.5 Линейные системы с периодическими коэффициентами
Рассмотрим линейную однородную систему
, (5.1)где А – матрица элементами которой служат непрерывные комплексные функции, и
(5.2)для некоторой постоянной ω
0. В этом случае (5.1) называется периодической системой с ω-периодом А. Основной результат для таких систем состоит в том, что фундаментальную матрицу можно представить как произведение периодической матрицы с тем же периодом ω и матрицы-решения для системы с периодическими коэффициентами.Теорема 5.1. Если Ф – фундаментальная матрица для системы (5.1), то тем же свойством обладает матрица
Ψ(t) = Ф(t+ω)
.Каждой такой матрице Ф соответствует периодическая неособая матрица Р с периодом ω и постоянная матрица R, такие, что
Ф(t) = P(t)etR. (5.3)
Доказательство. Так как
,то в силу (5.2)
.Поэтому Ψ есть матрица-решение системы (5.1), и эта матрица фундаментальная, так как det Ψ(t) = det Ф(t+ω)
0 для 
.Следовательно, существует постоянная матрица С, такая что
Ф(t+ω) = Ф(t)С, (5.4)
и, сверх этого, существует постоянная матрица R, такая что
С = еωR. (5.5)
Из (5.4) и (5.5) получаем
Ф(t+ω) = Ф(t) еωR. (5.6)
Определим матрицу Р по формуле
Р(t) = Ф(t) е-tR. (5.7)
Тогда, используя (5.6), получаем
Р(t+ω) = Ф(t+ω) е-(t+ω)R = Ф(t) еωR е-(t+ω)R = Ф(t) е-tR=Р(t).
Так как матрицы Ф(t) и е-tRдля
неособые, то Р(t) такая же, и это завершает доказательство.Значение теоремы 5.1 состоит в том, что значение фундаментальной матрицы Ф на интервале длины ω, например
, дает возможность определить Ф на всей числовой прямой. В самом деле, матрица С в (5.5) определяется как формула Ф-1(0)Ф(ω), а отсюда R определяется как (lnC)/ω. Теперь матрица Р(t) определена на интервале (0,ω) по формуле (5.7), а так как Р(t) имеет период ω, то она определяется на интервале 
. Теперь матрица Ф определена на интервале по формуле (5.3).Если Ф1 – некоторая другая фундаментальная матрица системы (5.1), для которой выполняется (5.2), то
Ф = Ф1Т,
где Т – некоторая постоянная неособая матрица. Из (5.6) следует, что
Ф1(t+ω)Т = Ф1(t)ТеωR,
или
Ф1(t+ω) = Ф1(t)(ТеωRТ-1). (5.8)
Таким образом, в силу (5.8) каждая фундаментальна матрица Ф1 определяет матрицу ТеωRТ-1, подобную еωR . Наоборот, если Т – любая постоянная неособая матрица, то существует фундаментальная матрица Ф1 системы (5.1), такая, что выполняется (5.8). Следовательно, хотя Ф не определяет R однозначно, множество всех фундаментальных матриц системы (5.1), а следовательно матрица А, определяет однозначно все связанные с Rвеличины, инвариантные относительно подобных преобразований. В частности, множество всех фундаментальных матриц системы (5.1) определяет однозначно множество характеристических корней, а именно характеристические корни матрицы С = еωR. Обозначим эти корни через λ1, λ2,…, λnи назовем их мультипликаторами, соответствующими матрице А. Ни один из мультипликаторов не равен нулю, ибо
= det еωR 0. Характеристические корни матрицы R называются характеристическим показателями.